第二讲 函数最值问题.docVIP

第二讲 函数最值问题 教学目标： (一)教学知识点 一次函数和二次函数的图象及性质、解不等式、解一元二次方程、三角函数的定义、同角的三角函数关系（或相似）等。 (二)能力训练要求 能利用一次函数和二次函数图像的增减性和约束条件，用代数方法和几何方法求一次函数和二次函数的最值。 教学重点： 灵活运用一次函数和二次函数图像的增减性、二次函数的最值公式以及约束条件求一次函数和二次函数的最值。 教学难点：准确寻找约束条件求最值。 教学过程： 一、引入： 最值问题是一类综合性较强的问题,其题型多样,涉及的知识面广,是教学中的一个难点,也是近年来中考命题的热点问题之一运用“若ａ-ｂ0,则ａｂ”求最值根据函数性质在约束条P 0.2 设购买杨树、柳树分别为x株、y株. ⑴写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ⑵当每株柳树的批发价p 等于3元时，要使这400株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数不低于90，应该怎样安排这三种树苗的购买数量，才能使购买树苗的总费用最低？最低的总费用是多少元？ ⑶当每株柳树批发价p（元）与购买数量y（株）之间存在关系时，求购买树苗的总费用w（元）与购买杨树数量x（株）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 解析：（1）y＝400－2x。 （2）设杨树买x株，则丁香树买x株，柳树买400－2x株，0.4x＋0.1x＋0.2≥90，y＝400－2x，x≥100。 ∵400－2x≥0， ∴ x≤200, ∴100≤x≤200 设总费用为w＝3x＋2x＋3（400－2x）=1 200－x，（100≤x≤200） ∵w随x增大而减小，∴当x＝200时，w的最小值为1000元 ∴杨树买200株、丁香买200株、柳树不买。 （3）w＝3x＋2x＋py＝5x＋（3－0.005y）y=5x+[3-0.005((400－2x)] ((400－2x) ＝－0.02x2＋7x＋400. 题型2：二次函数的最值问题 1. 利用二次函数的顶点式求最值cm时，求x的值。 解析：（1）∵PQ⊥AP，∴∠CPQ＋∠APB＝90°， 又∵∠BAP＋∠APB＝90°，∴∠CPQ＝∠BAP，∴tan∠CPQ＝tan∠BAP， 因此点在BC上运动时始终有， ∵，，，∴ ∴（） ∵，∴y有最大值，当，（cm）。 （2）由（1）知，当cm时，， 整理，得，∵，∴， ∵，∴当cm时，x的值是或. 2.二次函数在给定范围内的最值 有些二次函数在配成顶点式后,还不能立刻求出,还必须考虑其取值范围. 在上的最值。 解析：∵，∴函数的顶点坐标为（1，-6）在上的最值。∵当时，；当时，；当时，，∴当时，；当时，. 注：由于二次函数在实数范围内是连续函数，因此，它在任一范围内都有最大值和最小值，但必须注意的是，必须首先验证二次函数的顶点是否在所考查的范围内。如果给定的范围（包括两端点）在顶点的一侧，则两个端点处的函数值即为最值；如果给定的范围（包括两端点）在顶点的两侧，则其中一个端点处的函数值为最大值（或最小值），顶点处的函数值为最小值（或最大值）。 例4 求函数在下面三种情形下的最大值：（1）；（2）；（3）. 解： ∴此二次函数的顶点坐标为 （1）当时，，给定的范围位于抛物线顶点的右侧，如图1，上y随的增大而减小，∴当，； （2）当时，，顶点在内，如图2，此时y在顶点处取得最大值，即当时，. （3）当时，，此时给定的范围在抛物线顶点的左侧，如图3，此时内y随x的增大而增大。因此，当时，. 注：一个有最大值的含有字母系数的二次函数，当顶点在给定的范围（包括端点）外时，最大值在两个端点之一处取得；当顶点在给定的范围内时，在顶点处取得最大值。 例5 (2005年黄冈市课改卷)在黄州服装批发,某种品牌的时装当季节即将来临时,价格呈上设这种时装开始时定价为20元,并且每周(7天)涨价2元,从第6周开始保持30元的价格平稳从第12周开始,当季节即将过去时,平均每周2元,直到第16周周末,该服装不再销售(1)试建立销售价ｙ与周次ｘ之间的函数关系式;(2)若这种时装每件进价ｚ与周次ｘ之间的关系=-0.125(ｘ-8)2+12,1≤ｘ≤16,且ｘ为整,试问该服装第几周出售时,每件销售利润最大?最大利润为多少?解(1)由题意,可建立销售价ｙ与周次ｘ之间的: （2）设销售利润为W， 则 当时，∵当时，函数y随x增大而增大，而，∴当时，W有最大值，； 当时，∵，当时，函数y随x增大而增大，∴当时，W有最大值，. 综上所述，当时，销售利润最大，最大值为. 三、小结 求函数最值问题时，要充分挖掘题目中的隐含条件，正确求出自变量的取值范围，然后可用两种方法求最值：①几何方法：画出函数图象