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特值法在解答题中的应用 安化二中数学组 周昆平 在解数学选择题、填空题时，有一种方法叫做特值（例）法。这种方法不能作为解答题的解题过程。尽管如此，我认为，这种方法仍然在解解答题中，有其独特的作用，如有些题不知如何下手，有些题不知选哪种方向为好，特值法就能为我们指引解题的方向或提供解题的方法。下面我从多年的教学经验中积累的一些粗浅的看法，举例说明如下： 一 、在函数解答题的应用： 在判断函数的奇偶性时，有些比较复杂的题，利用函数的奇偶性的定义（或去证明，学生往往感觉推导有困难，难于与联系起来，如果利用奇偶性的定义的变形（和差法）或，觉得不知道选取哪一种，可能导致走弯路。我想，这时我们用特值探路，就可以节省时间，起到事半功倍的效果。 例1 判断下列函数的奇偶性： （1） （2） 间。 分析：（1）∵1与-1都在定义域内，∴可先比较一下与的关系。 ∵ ∴函数可能是奇函数。 故可考虑判断是否成立，若成立，则是奇函数，否则是非奇非偶函数。解答如下： ∴函数是奇函数. 分析：(2)，同（1） 解答如下： 解： 函数的定义域为，定义域关于原点对称。 ∴函数是偶函数。 例2 已知函数 （1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围； 分析：（1）函数的定义域为R，则不等式＞0的解集为R， ∴△= 得 这个学生一般不难理解，也比较熟练地得出来。但对于第（2）问的处理就感觉有点困难。 分析：（2）函数的值域为R，在定义域内的最小值要小于或等于0，∴△= 得或 这个学生就有点难于理解了，其实这时我们如果也考虑特殊探路，就可明了解题的方向，帮助我们去理解。 如时，△=-3＜0，而==， ∴ ，此时的值域就不为R了。因此告诉我们这时就不能用△＜0求解了。 △≥0时，的最小值小于或等于0，就能保证真数对上的任意值都能取得到，也就能确保函数的值域为R 。 二、在数列题型上的应用： 例3 (2009年重庆高考第14题)．设，，，，则数列的通项公式= ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析：∵，，， ∴ 由此我们可猜想数列的通项公式。 这是作为填空题求做的，如果是解答题呢？那我们就可以根据上面的特例猜想的结论，可以想到的一般方法是：证明。解答如下： 解: ∵，，， ∴ 故数列｛｝为等比数列，其中公比为2，易求得， ∴数列的通项公式。 例4 已知数列{a中，a，（n∈N），且a=1，则数列{a的通项公式a=（ ） A.2·3 B.2·3-5 C.2·3+1 D.2·3+1 分析：本题作为选择题，我们可以取时，a=1，排除答案C、D，取时，a2=5，可排除答案B，故选答案A。但作为解答题呢？这种方法显然没有说服力。 注意观察.=2·3①，为一等比数列的通项公式 ∴把式子①变为，从而可看出数列是等比数列，其中首项为2，公比为3，故可以考虑构造等比数列求解。 解：∵a， ∴，又a+1=2≠0， ∴数列是等比数列，其中首项为2，公比为3。 ∴， 即 由此，我们还可以对形如“已知数列{a中，a，（n∈N，q≠1且q≠0,d≠0），且a=a的，求数列{a的通项公式a”的题型，总结一个一般的方法。特别值得提醒的是，近几年的高考试题中，屡见这种题型，有升温趋势。 一般解法如下： 设，则， 比较系数有，得 ∴， ①若，则数列｛｝为等比数列，其中首项为，公比为q. ∴=（）×，即 ②若，则数列｛｝为常数列，且=0 ∴ 当然，特例探路，寻找解题方法尤其在数列题型中的应用最为广泛，本身数学中“特殊— 一般 － 证明 ”的方法，就已蕴含了这种基本想法。 在排列组合题型上的应用： 例5（1）x1+x2+x3=5有几组正整数解？ （2）x1+x2+x3=6有几组正整数解？ 分析：（1）∵x1、x2、x3都为正整数， ∴x1、x2、x3可能有两种情况 一个为3，其余两个为1，这时有3组解 一个为1，其余两个为2，这时有3组解； 故共有6组正整数解。 （2）∵x1、x2、x3都为正整数， ∴x1、x2、x3可能有三种情况 一个为4，其余两个为1，这时有3组解； 一个为3，一个为2，第3个为1这时有=6组解； 3个都为2，这时只有1组解。 故共有3+6+1=10组解。 反过来思考，第（1）题结果为6，而6= ，第（2）题结果为10，而10= ， 当中就可以想象存在一定的联系，这不是偶然的一种结果，我们可以去联系排列组合问题里的方法 隔板法。 对于第（1）题