19连续函数的性质.docVIP

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 教学目的：使学生了解连续函数的性质和初等函数的连续性；并会应用函数的连续性求函数的极限 教学重点：应用函数的连续性求函数的极限 教学过程： 一、复习函数的连续性定义、间断点的分类 二、讲解新课： （一）连续函数的运算 定理1(连续函数的四则运算法则)：若均在连续，则及（要求）都在连续。 定理2（反函数的连续性）：如果在区间上单值，单增（减），且连续，那么其反函数也在对应的区间上单值，单增（减），且连续。 注1：亦为的反函数，如上知：在上有上述性质。 定理3：设当时的极限存在且等于，即，又设在处连续，那么，当时，复合函数的极限存在，且等于，即。 注2：可类似讨论时的情形。 定理4：设函数在点连续，且，函数在点连续，那么，复合函数在点处连续。 注3：定理3、4说明与的次序可交换。 注4：在定理3中代入，即得定理4。 【例1】 由于（为正整数）在上严格单调且连续，由定理2，其反函数 在上也严格单调且连续，进而：对于有理幂函数（为正整数）在定义上是连续的。 【例2】求 解：因为，及在点连续，故由定理3，原式 。 （二） 初等函数的连续性 我们已知道在其定义域内是连续的，由定理2知和在其定义域也是连续的。 可证明指数函数，在其定义域内是严格单调且连续的，进而有对数函数在其定义域是连续的。 又（为常数），由定理4知：在内是连续的，当取有理数时，见例1，总之在定义域内是连续的。 综合以上结果，得：基本初等函数在其定义域内都是连续的，由基本初等函数的连续性，及定理1～4，即得： 结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。 注1：定义区间为包含在定义域内的区间； 2：在§1.9，我们是用极限来证明连续，现在可利用函数的连续来求极限。 【例3】 。 【例4】。 【例5】 。 三、课堂练习： 四、布置作业：