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2008年福建省专升本阶段考试试题答案 单项选择题 1、函数是（ ） A、偶函数 B、奇函数 C、单调增函数 D、非单调函数 【答案】 D 【解析】：由于[-1,2]不是关于原点对称的区间，故函数是非奇非偶函数；由于，当-1时，，则在[-1,0]上递减，当时，，则则在[-1,0]上递增，故选D。 2、下列函数中，定义域为的函数是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】 D 【解析】：A中在时无意义，所以A不正确；由B中知，则，所以B不正确；而C中知，所以C不正确；而D中知：且，则，即选项D正确。 3、若在处连续，则 （ ） A、 B、1 C、2 D、4 【答案】 C 【解析】：由于在处连续，所以有，有型的不定式极限，由洛必达法则有，所以有，故选C。 4、已知，则 （ ） A、 B、 C、 D、 【答案】 C 【解析】：由，有，，所以，则选项D正确。 5、函数在点处连续是它在该点处可导的 （ ） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、A，B，C都不是 【答案】 B 【解析】：由导数性质知：在处可导，则在处连续；反之，令=|x|,则知在处连续，但不可导，因为，所以选项为B。 6、求下列极限问题不能使用洛必达法则的有（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】 C 【解析】：选项C中其极限若运用一次洛必达法则，则有，而其右端的极限不存在，所以选项为C。 7、条件是点为拐点的（ ） A、必要条件 B、充分条件C、充要条件 D、A，B，C都不是 【答案】 D 【解析】：取，则，而为凸函数，所以选项B、C都不正确；由取，易知在处的二阶导数不存在{因为，而，两者不相等。},而总是的拐点，所以A也不正确，故选项为D。 8、若为连续函数，则在处的导数为 （ ） A、 B、 C、 D、 【答案】 C 【解析】：根据活动上限定积分和复合函数求导性质，有，令，则， 所以，故选项C正确。 9、下列积分值为零的是 （ ） A、 B、 C、 D、 【答案】 D 【解析】：由于是关于原点对称的区间，都是非零偶函数，所以A、C不正确；而 ===，而在上是正值函数，所以选项C也不正确；而易知在是奇函数，因此选项为D。 10、微分方程的通解是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】 C 【解析】：微分方程所对应的特征方程为该特征方程的根为或，故方程的通解为，所以选项为C。 填空题 11、设，则。 【答案】 【解析】：因为，所以，所以，即 12、。 【答案】 【解析】：根据特殊极限有 13、函数的间断点。 【答案】 -1 【解析】：依题意，得：，解得，综上得：是函数的间断点。 14、设可微，，则。 【答案】 【解析】：由于可微，且可微，由复合函数求导法则有： 。 15、设，则。 【答案】 5 【解析】：依题意，得：， ，所以：。 16、曲线在处的切线方程为。 【答案】 【解析】：依题意，得：当时，有；由函数知，所以在时的斜率为，则斜率为2、经过点的直线方程为。 17、曲线在区间上的图像是凹的。 【答案】 【解析】：根据图像的凹凸性与导数的关系知：当时，则该函数是凹函数；所以由知：，，当时，解得，即是所要求的解。 18、。 【答案】 【解析】：因为在的区间内，当时，； 当时，。所以 =+=。 19、设向量与向量垂直，则。 【答案】 4 【解析】：根据向量相垂直的关系：若，则，所以有，解得：。 20、设，，则满足条件的特解是。 【答案】 【解析】：由，得，即，化简得，解得：,又因为， 由此解得C=0，所以即为方程的解，化简得：。 三、计算题 21、求。 【解析】：当时，，可由洛必达法则得： 。 22、设参数方程，求的值。 【解析】：因为，则由 得 ， 所以 。 23、设由方程所确定，求。 【解析】：根据隐函数求导法则有：函数求导得： ，整理得：。 24、设函数，求其单调区间和极值。 【解析】：根据导数的正负与函数升降的关系知：若在连续，在 可导，则在单调上升（或单调下降）的充要条件是在内 （或）。所以 由得：，由，解得。 因此当时，，当时，；因为在处，不存在，即为函数的不可导点，而由极值判别法知，为的极大值点，为的极小值点。 综上所述，在和上单调递增，在为单调递减，(极大)=, (极小)=。 -1 0 + 0 — 不存在 + ↗ 极大 ↘ 极小 ↙ 25、求不定积分。 【解析】：依题意，