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2013年 12月 教 育教 学论坛 Dec．2013 第 52期 EDUCATION TEACHING FORUM NO．52 导数问题中的错例剖析 秦 勤 (江苏省扬州技师学院，江苏 扬州 225000) 摘要：导数的引进无疑为中学数学注入了新的活力，但 由于概念的抽象性，对基础知识掌握不全面或对题意理解不准确， 在应用中出现一些错误现象。本文对几类常见错误进行剖析，以期引起大家的注意，试图对学生今后的学习有所启迪与帮助。 关键词 ：导数问题 ；错例 ；剖析 中图分类号：G642 文献标志码 ：A 文章编号：1674—9324(2013)52—0097—02 导数 的引进无疑为中学数学注入 了新的活力 ，但由于 所以曲线的切线方程为Y=一3x+32。 概念的抽象性，对基础知识掌握不全面或对题意理解不准 剖析错解导数的几何意义是 曲线上该点的切线的斜 确，在应用中出现一些错误现象。本文对几类常见错误进行 率，因此要注意此点是不是在 曲线上。 剖析，以期引起大家的注意，试 图对学生今后的学习有所启 正解 ：设切点坐标为N(xo，2Xo3—3x。)，则 迪与帮助 。 切线斜率为k=f’(X0)=6 一3 一 、 对单调性判定法则的理解发生偏差 切线方程为y=(6x02_3)x+32 例1判断函数f(x)=x—COSX在定义域区间(一。。，+。。)上的 又点N在切线上 ，故有 ： 单调性。 2Xo3—3x0=(6Xo2-3)xn+32，得x0=一2 所以切线方程为y=21x+32。 错解 ：f’(x)=1+sinx，当x=2k叮r+ (k∈Z)时，f’(x)=0， 三、忽视闭区间上极值与最值的关系 不满足f’(x)0，所以f(x)=x—COSX不是单调函数。 例3求函数f(x)=x3-2x+x在[一3，3]上的最值 。 剖析错解：教科书中指出：“函数y=f(x)在某个区间内可 错解：f’(x)=3xz一4x+1 导，如果f’(x)0，则f(x)为增函数 ；如果f’(X)O，~llr(x)为 令f’(x)=3x2-4x+1=0 减函数”，这仅是判定函数单调性的充分条件而不是必要条 解得x=l，x= ‘ 件，实际上，如果仅在某些个别点出现f’(x)=0，但在其余点 · j 都是使f’(x)0，那么 x)仍是增函数。 所以，极值点为x：l与x= 。 j 正解 ：f’(x)=1+sinx，仅 当x=2k + (k∈Z)时，f’(x) Z 因为f(1)=0，f(÷)= j ／ = 0，所 以f’(X)≥0，从而f(x)=x—COSX是增函数。 二、忽视导数的几何意