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性质4 ( 行) ( 行) 证 例如 推论 （ 行） （ 行) 将行列式某一行 加到另一行 性质5 行列式的值不变。 同乘以数k后， ( 行) ( 行) 的所有元素 的对应元素上， （列） （列） 证 ( 行) ( 行) * §1.3 方阵的行列式 （一） 1、二阶行列式 二、三阶行列式 表示代数和 即 定义 排成二行二列， 称为二阶行列式. 用符号 本节涉及的数， 均为域 中的数. 把4个数 用符号 表示代数和 定义 排成三行 称为三阶行列式. 2. 三阶行列式 把9个数 三列, 定义 余下的元素 的余子式， 的代数余子式. 设 是数域 上的 阶矩阵. 所在的第 行 和第 列， 构成的n-1阶行列式, 称为 中 元素 记为 称为 中 元素 划去 中元素 例如 例如 考虑三阶行列式 可以证明， 对任意三阶行列式，有 定义 四阶行列式为 可以证明， 对任意四阶行列式，有 可以证明， 对任意四阶行列式，有 从而有 假设 阶行列式已定义， 定义 阶行列式为 可以证明， n阶行列式也等于 定义1.8 阶行列式定义为 此行列式也记为 一阶行列式定义为： 当n=1时， 注意： 如 此定义与 无关. 不要将1阶行列式与绝对值混淆. 行列式也等于 可以证明， 其任一列的元素 与其 代数余子式的乘积之和： 例 它们的余子式依次为 求D的值. 已知四阶行列式D 中第三列元素依次为 解 例 上三角行列式的值 等于主对角线 上元素的乘积. 矩阵与行列式的区别: 1. 矩阵是一个表， =－2 2. 矩阵作为一个表， 行列式 是一个2×3矩阵. 其行数与列数可以不同. (即矩阵可以是“长方形”的) 其行数与 (即行列式一定是“正方形”的) 行列式是一个数. 列数必须相同. √ 是由n2个数 决定的一个代数和， 设 是 阶方阵， 由A 的元素构成的n阶行列式, 称为矩阵A的行列式， 记为 或 矩阵的乘法有性质： 设A1,A2,…Ak均为n 阶方阵， 则 三、 行列式的性质 性质1 由性质1, 如 它的列也具有 行列式和其转置行列式 即 行列式的行具有的性质， 同样的性质。 的值相等. 例 也等于 下三角行列式的值 主对角线上 元素的乘积。 交换行列式的两行 行列式变号. 性质2 （ 行） ( 行) （ 行） ( 行) 或两列, 例如 交换行列式的两行 例如 行列式变号. 性质2 （ 列） ( 列) 或两列, （ 列） ( 列) 如果行列式有两行 则行列式的值为零. 推论 元素相同， （ 行) (s行) （或两列） 的对应 (s行) （ 行) 用数k乘行列式的某一行(列), 则 等于以数k 性质3 即如果设 此行列式. 证 如果行列式某行 则可以将公因子 有公因子, (或某列) 的所有元素 提到行列式外面. 推论 如果行列式某行 (或某列)的所有元素为零, 则此行列式的值为零. 如果行列式有两行(列) 则此行列式的值为零. 推论2 如 （ 行） ( 行) （ 行） ( 行) 成比例, 的对应元素 设A为n 阶矩阵 *