南京数学学校“紫金杯”高一数学竞赛试题及答案...docVIP

2011年南京数学学校“杯”数学竞赛： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设分和0分两档；5分为一个档次请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．一、填空题 （本题满分64分，每小题8分） 1.已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是 解：由已知条件可知，，函数图象与轴交点的纵坐标为。令，则 . 2.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递减区间是 解：相邻交点的中点的横坐标分别为3，6，则周期， ，又，当时，取最大值， 即 ，， 的单调递减区间为 3.= 解： ==， 选A 另解：（利用诱导公式配对求和） 4.在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，，若 且，则点所有可能的位置所构成的区域面积是 . 解：作， 为中点，则在内， 面积为 5.设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是 解： 根据题意，设两个相异的实根为，且，则 ，。 于是有 ，也即有。 故有，即取值范围为. 6.在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上.AD的长度的最小值为 解：设，作△ADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC上。在△DGB中， 当时，即。 7.某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论： ①函数在上单调递增，在上单调递减； ②点是函数图像的一个对称中心； ③函数 图像关于直线对称； ④存在常数，使对一切实数均成立．其中正确的结论是 . 解：为奇函数，则函数在 ，上单调性相同，所以①错； ，所以②错； ，所以③错； ，令，所以④对． 选④ 8. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为 解：先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B。证明如下： 将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个。由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B。 如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}， B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66。 二、解答题（本题满分54分，每小题18分） 9.已知向量， 设函数 （1）求的单调区间； （2）若在区间上有两个不同的根，求的值. 解：（1） 令， 当时，，且为减函数 又在上时减函数，在上是增函数………分当时，，且为减函数 又在上时增函数，在上是减函数 综上，的单调区间为，……………10分（2）由得，，即 令，则是方程的两个根，从而……………12分 =……………15分，………分另解：由得，，即 不妨设则 10.如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、；设，，其中，． （1）求表达式的值，并说明理由； （2）求面积的最大和最小值，并指出相应的、的值． 解：（1）如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心 F为BC的中点，则有 ，， 　即………………………………3分 D、G、E三点共线 　　 故 ＝3 ………………………………分 （2）△ABC是边长为1的正三角形， ， S＝mn 由=3，0＜m1,0n1n=,　　即。………10分 S＝mn＝ 设t=m-则m=t+（）S=mn=（t++）　易知在为减函数，在为增函数。 t=，即，时，取得最小值， 即S取得最小值…………………1分 又，取得最大值是， 则S取得最大值，此时或…………………11.线段AB长度为1，在AB上将m个点染成红色，使得对任意实数0d≤1，线段AB上每一个长度为d的闭区间中的红点个数都不大于1+1000d2，求m的最大值． 分析 要求任意一个长度为d的闭区间中红点个数“不能太多”，而又希望m的值最大，所以红点应在AB上均匀分布且A、B两个端点是红点．通过最简单