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第八章 组合变形 §8-1 组合变形概述 前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。 由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形。 组合变形的实例一：悬臂吊车横梁 组合变形的实例二：齿轮主轴 组合变形的实例三：偏心压柱 1、组合变形的概念： 3、 组合变形杆件强度分析的步骤 §8-2 斜弯曲 ②内力 ③应力 例：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt和最大压应力 σc 。 解： 偏心拉伸或压缩： §8-4弯曲与扭转的组合变形 A截面为危险截面： ②内力 ②内力分析： 例3：图示悬臂梁的横截面为等边三角形，C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： （A）平面弯曲；　 （B）斜弯曲； （C）纯弯曲；　 （D）弯扭结合。 例4：具有切槽的正方形木杆，受力如图。求： （1）m-m截面上的最大拉应力σt 和最大压应力σc； （2）此σt是截面削弱前的σt值的几倍？ 解：(1) 例5：图示偏心受压杆。试求该杆中不出现拉应力时的最大偏心距。 例6：偏心拉伸杆，弹性模量为E，尺寸、受力如图所示。求：最大拉应力和最大压应力的位置和数值? 例7：求图示杆在P=100kN作用下的σt数值，并指明所在位置。 例8：空心圆轴的外径D=200mm，内径d=160mm。在端部有集中力P =60kN ，作用点为切于圆周的A点。[σ]=80MPa，试用第三强度理论校核轴的强度。 直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力P=0.2kN，已知［σ］=170MPa。试用第三强度理论确定ａ的许可值。 圆截面水平直角折杆，直径d=60mm，垂直分布载荷q=0.8kN/m;［σ］=80MPa。试用第三强度理论校核其强度。 + + 确定B截面为危险截面 + T M M M1 A B C D P2y P1 x y P2z x z 7.05 Mz x 2.64 My x 71.25 40 y z 截面B MB 安全 √ 解： 解： 最大拉应力发生在AB线上各点 最大压应力发生在CD线上各点 解：(1) 最大拉应力发生在后背面上各点处 * A B C P A B P NB XA YA XB YB 杆AB： XA, XB —轴向外力—轴向压缩 YA,YB, P—横向外力—平面弯曲 A B XA XB A B P YA YB = + 轴向压缩与弯曲的 组合变形 m Pt C A B Pt m1 x m z y RA RB 轴AB: m,m1—轴向力偶—扭转 RA,Pt,RB—横向力—弯曲 扭转与弯曲的 组合变形 m1 m Pt RA RB = + e P P m=P.e = R M=m=P.e = R P + M=m=P.e m=P.e 轴向压缩 弯曲 + 偏心压柱 = 在外力的作用下，构件同时产生两种或两种以上基本变形的情况 2、组合变形杆求解原理——叠加原理 条件：小变形的线弹性范围内，物理量与外力成正比 适用范围：支反力、内力、位移、应力、应变 ①外力分析：将构件上的外力分组，其中每组载荷对应 一种基本变形 ②内力分析：计算每组载荷作用下的内力 重点：内力图—确定危险截面 ③应力分析：分析每组载荷下横截面上的应力 重点：确定危险点及其应力状态 ④强度分析：危险点强度校核 单向应力状态——强度条件 复杂应力状态——强度理论 关键两点： 外力分组 应力叠加 一、概念： 1、平面弯曲：梁变形后，轴线位于外力所在 的平面之内 2、斜弯曲：梁变形后，轴线位于外力所在的平面之外 例:一圆形截面悬臂梁，梁上作用载荷P通过截面形心，P与z轴夹角为 。求距自由端为x处的截面上一点k的正应力。 二、斜弯曲的研究方法 ： ①分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。 Pz Py y z P j x y z P 。k Py Pz ②叠加： 对两个平面弯曲进行研究,然后将计算结果叠加起来。 Pz Py y z P j x y z Py Pz P 。k 解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解 2.研究两个平面弯曲 ① 内 力 Pz Py y z P j L m m x x y z Py Pz P 。k ② 应 力 M z引起的应力： My引起的应力： z y z y 合应力为： ③叠加： 最大正应力 变形计算 中性轴方程 可见：只有当Iy = Iz时，中性轴与外力才垂直 在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。 当? = ?时，即为平面