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2006年北京海淀区高三上学期期末练习 数学（文科）试卷 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A C C B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．（缺一扣1分）， 10．－1 11． 12．－5 13． 14． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分） 解：（Ⅰ）由已知得 sinBcosC ＝ 2sinAcosB－cosBsinC …………………………………………………1分 ∴2sinAcosB ＝ sinBcosC+cosBsinC ＝ sin(B+C)……………………………………2分 又在三角形ABC中，sin (B+C) ＝ sinA≠0 ∴2sinAcosB ＝ sinA，即cosB＝，………………………………3分 ∵0＜B＜∴………………………………………………5分 （Ⅱ）＝①………………………6分 ②…………………………………………8分 由①，②可得 …………………………………10分 ………………………12分 16．（共13分） 解：（Ⅰ）①若直线l垂直于x轴，则此时直线方程为x ＝1，l与圆的两个交点坐标分别为（1，）和（1，－），这两点间的距离为，满足题意………………1分 ②若直线l不垂直于x轴，设其方程为， 即 …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d，∵，得d ＝1…………………3分 ，解得，………………………………………………………4分 故所求直线方程为………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为或x ＝1……………………………6分 （Ⅱ）设Q点坐标为（x，y）， ∵M点坐标是， ∴………………………………………………9分 ∴ 即……………………………………………11分 ∴Q点的轨迹方程是 ………………………12分 轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆. ……………13分 17．（共13分） 解法一：（Ⅰ）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC//A1C1 ∴∠BA1C1是异面直线A1B与AC所成的角……………………2分 连接BC1 ∵CC1⊥平面A1B1C1 ∴CC1⊥A1C1 又∠A1C1B1＝∠ACB＝90° 即A1C1⊥B1C1 ∴A1C1⊥平面BB1C1C ∵BC1平面BB1C1C ∴A1C1⊥BC1 在直角三角形BCC1中，BC＝1，CC1＝AA1＝ 在直角三角形A1BC1中， ………………………………………………4分 （Ⅱ）由（I）可知，BC⊥AC，BC⊥CC1 ∴BC⊥平面ACC1A1，又AM平面ACC1A1，则BC⊥AM ∵AM⊥A1C，∴AM⊥平面A1BC………………………………9分 （Ⅲ）在三角形ABC中，作AB边上的高CH，垂足为H，连接MH，显然CH是MH在平面ABC上的射影 ∴MH⊥AB ∴∠MHC是二面角M—AB—C的平面角…………………………11分 ∵AM⊥A1C ∴∠MAC＝∠AA1C，则tanMAC＝tanAA1C 即 ………………………………………………13分 解法二：（I）如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0） ……………………2分 设异面直线A1B与AC所成的角为，则 ……………………4分 （Ⅱ）同解法一…………………………………………………………9分 （Ⅲ）设M（0，0，z1） ∵AM⊥A1C 即－3+0………………10分 设向量m＝（x，y，z）为平面AMB的法向量，则，则 ， 令x＝1，则平面AMB的一个法向量为……………………11分 显然向量n＝（0，0，1）是平面ABC的一个法向量， 设所求二面角的大小为 则 …………………………………………………………13分 18．（共14分） 解：（Ⅰ） ∴…………………………………………………1分 则 ∴向量a，b的夹角为………………………………………………………………3分 （Ⅱ） ……5分 ∵…………………………………………6分 当…………………………8分 （Ⅲ） ＝ ＝……………………………………………………10分 设m＝（s，t），则 易知当k＝0时，…………………………………………14分 19．（共14分） 解：（Ⅰ）由已知可得 ＝0……………………………………1分 又 ∴＝1+2b+c＝0，………………………………………………………………2分 将b＝－2代入，可得c＝3………………………………………………………………3分 （Ⅱ）由（I）可知 令………………………