固体发光讲义_-_第三章_群论简介.pdfVIP

固体发光讲义 著者：许少鸿 第三章 群论简介 第三章 群论简介 3-1. 群(group) 设G为一些元素gi （i=1，2 ，3…）的集合， 这个集合具有如下的性质: (1) 封闭性(closure) 。 任何两个元素g ，g 的乘积仍属于G 。 (2) 存在一个单位元素E ≡ g ，它与G 中任何元素g 的乘 i j 1 i 积仍等于g ，:即E ×g =g ×E=g (3) 对任何一个元素g ，必存在一个逆元素(inverse) g -1 ，满 i i i i i i 足方程g ×g -1 = g -1 ×g =E ， (4) 结合律(associative law): 对任何三个元素g ， g ，g 必有g × i i i i j k l j (g ×g )=(g ×g ) ×g 。这样的集合， 就称为一个群。 注意这里的所谓“乘积”，并不等同于 k l j k l 两个数在算术意义上的相乘。对于非数字量，它具有“结合”的意思。例如绕一个轴 R1旋转 一个角度α 接着绕另一个轴旋转一个角度β ，其结果是绕第三个轴R 旋转某一角度γ ，而这 3 1 就是前面两个操作的乘积，用 R =R R 表示。 （R ，R 的顺序不可对调！） 3 2 1 1 2 下面的表 3-1 中所示的六个元素E 、A 、B 、C、D 、F 就是一个群，用 G 代表。表 3 －1 叫做 群 G 的乘法表。 表 3-1 E A B C D F E E A B C D F A A E D F B C B B F E D C A C C D F E A B F F B C A E D D D C A B F E 行和列的交叉点所在的元素，代表对应的两个元素的乘积，例如AxC ＝F ，等等。这样的群只 是一些符号的相互关系，虽然也可以由此推断出它们的性质，但究竟比较地抽象。具体一点， 可以举出三个物件的六个置换。它们也组成一个群Gp ，就是置换群（permutation group ）： 123 123 123 123 123 123 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ E = ⎜ ⎟ P1 = ⎜ ⎟