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二、旋转曲面的方程（直角坐标系） 解析几何 * §4.3 旋转曲面 一、旋转曲面的有关概念 l S l 定义1 在空间，一条曲线 Γ 绕着定直线 l 旋转一周所生成的曲面 S 称为旋转曲面（或回转曲面） （ surface of revolution） Γ 称为旋转曲面的母线 （generating curve） l 称为旋转曲面的旋转轴 （axis of rotation） 纬圆 Ⅱ 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线 说明： ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线 S Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线 ⅱ 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。 l M 经线 设旋转曲面的母线 ， 1 旋转曲面的一般方程 注： ⅰ 写出这母线上任意一点 的纬圆方程或母线族 ⅱ 写出参数 的约束条件 ⅲ 消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程） 旋转轴为直线 当 M1 遍历整个母线Γ 时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面 分析： l M1 S 例1 求直线 绕直线 旋转所得的旋转曲面的方程 母线不是经线 注：为方便，今后将取旋转曲面的某一条经线作为它的母线。 单叶旋转双曲面 例2 设母线 ，⑴ 绕 z 轴旋转所得的旋转面方程； ⑵ 绕 y 轴旋转所得的旋转面方程 规律： 一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时， 为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标 b y z o 例3 （1） 将双曲线 绕虚轴 （即 轴）旋转 b y z o x 例3 （1） 将双曲线 绕虚轴 （即 轴）旋转 单叶旋转双曲面 y 0 z 例3 （2） 将双曲线 绕实轴 （即 轴）旋转 b y 0 x z 例3 （2） 将双曲线 绕实轴 （即 轴）旋转 双叶旋转双曲面 b 1 单叶旋转双曲面 2 双叶旋转双曲面 3 旋转抛物面 4 环面 5 旋转椭球面 三、几种特殊的旋转曲面（直角坐标系） b y z o 例3 （1） 将双曲线 绕虚轴 （即 z 轴）旋转 b y z o x 例3 （1） 将双曲线 绕虚轴 （即 z 轴）旋转 单叶旋转双曲面 y 0 z 例3 （2） 将双曲线 绕实轴 （即 y 轴）旋转 b y 0 x z 例3 （2） 将双曲线 绕实轴 （即 y 轴）旋转 双叶旋转双曲面 b y o z 例4 将抛物线 绕它的对称轴旋转 y o x z 例4 将抛物线 绕它的对称轴旋转 y . o x z 例4 将抛物线 绕它的对称轴旋转 旋转抛物面 * *