概率论与数理统计3.1.ppt

例3 正态性质2 估身高 题8 例5 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为 其中k 为常数. 求 常数 k ; P ( X + Y ? 1) , P ( X 0.5); 边缘 d.f. 与边缘分布函数. 例5 y = x 1 0 x y 解 令 D (1) x+y=1 y = x 1 0 x y (2) 0.5 x+y=1 y = x 1 0 x y y = x 1 0 x y 0.5 (3) 由联合d. f. 求边缘d. f. x=y 1 0 x y 1 x=y 1 0 x y 1 常用连续型二维随机变量分布 G 是平面上的有界区域, 面积为 A 若r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为 则称( X ,Y )服从区域G上的均匀分布 区域G 上的均匀分布，记作U ( G ) 常见连续分布 则 ? G1 ? G, 设G1的面积为A1, 若( X ,Y )服从区域G上的均匀分布, 边平行于坐标轴的矩形域上的均匀 分布的边缘分布仍为均匀分布 例6 设(X ,Y ) ~ G 上的均匀分布, f ( x, y ); P ( Y X 2 ); ( X ,Y ) 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率. 例6 求 解 (1) y=x 1 0 x y 1 G (2) y = x2 (3) y = x 1 0 x y 1 0.3 若r.v.( X ,Y ) 的联合为 则称( X ,Y ) 服从参数为?1,?12,?2,?22,? 的 正态分布, 记作( X ,Y ) ~ N(?1,?12;?2,?22;? ) 其中?1,?20, -1 ? 1 . 二维正态分布 二维正态分布 二维正态分布图 二维正态分布剖面图 正态分布的边缘分布仍为正态分布 正态分布性质2 设(X,Y )为二维 r.v. 若对任何 则称 r.v. X 和Y 相互独立 两个 r.v. 的相互独立性 —— 将事件独立性推广到 r.v. 实数 x, y 都有 §3.3 定义 由定义知 二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立 X与Y 独立 即 连续型 二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布 对一切 i , j 有 离散型 X与Y 独立 对任何 x ,y 有 设离散 r.v. X ,Y 相互独立, 且服 X P -1 1 0.5 0.5 Y P -1 1 0.5 0.5 问题 从同一分布, 是否有 X = Y ？ 为简单计不妨假设 -1 1 -1 1 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 X Y 由X ,Y 独立性 问题 故不能说 X = Y . 由上表易得: （即使概率为1的事 件未必是必然事件） 证 对任何 x, y 有 取 X与Y 相互独立 正态分布性质3 (必要性) 正态性质4 故 充分性 将 代入 即得 例1 已知 ( X, Y ) 的联合 d. f.为 (1) (2) 讨论X ,Y 是否独立？ 例1 解 (1) 由图知边缘 d.f. 为 1 1 显然， 故 X ,Y 相互独立 (2) 由图知边缘 d. f. 为 显然， 故 X ,Y 不独立 1 1 判独立的一个重要命题 设 X ,Y 为相互独立的 r.v. u(x),v(y) 为连续函数, 则 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也 相互独立. 即 独立 r.v.的连续函数仍独立. * 多 维 分 布 第 三 章 多维 随机变量及其分布 在实际问题中, 试验结果有时需 同时用两个或两个以上的 r.v.来描述. 例如 用温度和风力来描述天气 情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的 之间的联系, 就需考虑多维 r.v.及其取 测定来研究钢的成分. 要研究这些 r.v. 值规律—多维分布. §3.1 二维随机变量及其分布 定义 设?为随机试验的样本空间， 则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量 讨论： 二维r.v.作为一个整体的概率特性 其中每一个r.v.的概率特性与整体 的概率特性之间的关系 §3.1 二维随机变量的联合分布函数 定义 设( X , Y ) 为二维 r.v. 对任何一对 定义了一个二元 实函数 F ( x , y )，称为二维 r.v.( X ,Y ) 的分布函数，即 (记为 ) 的概率 实数( x , y ), 事件 分布函数的几何意义 如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X