讲义18：抛物线的标准方程及其性质.docVIP

教学内容 一、知识梳理 1、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点F和一条定直线（定点F不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。 思考：如果定点F在定直线上，动点的轨迹是什么？ 2、抛物线的标准方程和性质 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 (0,0) 轴 (,0) (0,0) 轴 (-,0) (0,0) 轴 (0, ) (0,0) 轴 (0,-) 我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程。 3、直线与抛物线 它们的位置关系无外乎三种情况，即相切、相交、相离。具体来说： （1）相离的问题常转化为二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决； （2）只有一个公共点，对抛物线表示直线与其相切或表示与其对称轴平行； （3）有两相异的公共点，表示相割，此时直线被截线段称为圆锥曲线的弦。 4、抛物线的（）的焦点F的直线l交抛物线于、两点，设，，O为原点，则有：（1）；（2）；（3）；（4）。 （2）直线l交抛物线（）于、两点，O为原点，若OA⊥OB，则直线l经过定点（2p，0），，反之亦然（证明略）。 二、典型例题解析 考点1 求抛物线的标准方程 1、抛物线的准线为_______ ,焦点坐标为______ 2、以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在上的抛物线方程是 。 3、以椭圆中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_____________。 4、已知圆，与抛物线的准线相切，则 _______ 5、点M与点F的距离比它到直线:的距离小1，则点的轨迹方程是 ___________ 类题 若动点P到点F（2，0）的距离与它到直线的距离相等，则点P的轨迹方程为______ 若动点P到定点（0，-3）的距离比它到x轴的距离多了3，则点P的轨迹方程是 6、在平面直角坐标系内，到点的距离相等的点的轨迹是 （　　　） A．圆 B．抛物线 C．射线 D．直线 小结： 考点2 利用定义解题 1、抛物线上一点到焦点的距离为,则点的坐标是 ( ) A. B. C. D. 类题 抛物线上有一点的横坐标为,它到焦点的距离为,则抛物线方程为 . 2、若一动圆的圆心在抛物线上，且动圆总与直线相切，则动圆必过定点 （ ） （4，0） B.（2，0） C.（0，2） D. （0，－2） 3、抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ ） A．（1，1） B．（） C． D．（2，4） 4、已知抛物线的焦点为F，定点A（－1,8），P为抛物线上的动点，则的最小值为_______。 小结： 考点3 焦点弦有关的问题 已知是抛物线上的点，是该抛物线的焦点，求证：. 巩固训练 1、过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ ） A．8 B．10 C．6 D．4 2、过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则等于（ ） A B C D 3、抛物线（）上有、、三点，是它的焦点，若、、成等差数列，则（ ） A 成等差数列 B 成等差数列 C 成等差数列 D 成等差数列 类题 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若的重心与抛物线的焦点F重合，则的值为 是抛物线的焦点弦，若，则的中点到直线的距离是________ 5、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于点，则 小结： 考点4 直线与抛物线 1、若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 类题 已知直线与曲线只有一个交点，则实数 . 2、交抛物线于A、B两点，若AB中点的横坐标是2，则________ 类题 在抛物线中，以为中心的弦所在的直线方程为_________ 3、直线交抛物线于、两点，若，则_______ 4、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，他们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A．有且只有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 小结： 考点5 对称问题 已知抛物线y=ax21上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围 小结： 综合题 1、已知抛物线，求经过的直线，使直线与有两个交点、，且以为直径的圆过的顶点。 2、已知抛物线，F是焦点