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1.函数奇偶性的概念: 奇函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) , 那么函数f(x)就叫奇函数. ☆对奇函数、偶函数定义的说明: 例1、判断下列函数的奇偶性 思考： 在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数，有的是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数的。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？ 小结：根据奇偶性, 函数可划分为四类: 奇函数的图象(如y=x3 ) 2.奇偶函数图象的性质: ⑴ 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数. 本课小结: 1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。 * 江阴长泾中学 严 洁 引 入课题： 1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1), f(-2) , f(2),及f(-x) ,并画出它的图象。 解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(0)=0,f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-x)=(-x)2=x2 2.已知f(x)=x3, 求f(0),f(-1),f(1) f(-2),f(2), 及f(-x),并画出它的图象. 解: f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(0)=0,f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3 思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？ f(-2)=f(2) f(-1)=f(1) f(-2)= - f(2) f(-1)= - f(1) -x x f(-x) f(x) -x f(-x) x f(x) x y o x y o ( x,y) (-x,y) (-x,-y) (x,y) f(-x)=f(x) f(-x)= - f(x) 偶函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数. (1).函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。 [a ,b] [-b,-a] x o （2） 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。 （3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。 练习1. 说出下列函数的奇偶性: 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 ①f(x)=x4 ________ ④ f(x)= x -1 __________ ② f(x)=x ________ 奇函数 ⑤f(x)=x -2 __________ 偶函数 ③ f(x)=x5 __________ ⑥f(x)=x -3 _______________ 结论：一般的，对于形如 f(x)=x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。 （1） （3） （6） （5） （7） （2） （4） 判断奇偶性，先检验定义域是否关于原 点对称。 再验证f(-x）=f(x)或f(-x）=-f(x)是否成立 解: 1-x2≥0 |x+2|≠2 -1≤x≤1 x≠0且x≠-4 -1≤x ≤1且x ≠0 ∴定义域为[-1,0) ∪(0,1] √1-x2 f(x)= (x+2)-2 f(-x)= √1-(-x)2 -x √1-x2 x - = ∴ f(x) 为奇函数. (7) 判断函数f(x)= 的奇偶性。 |x+2|-2 √1-x2 √1-x2 x = = - f(x) f(x)=0 是不是具备这样性质的函数解析式只能 写成这样呢？ 这样的函数有多少个呢？ 奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 偶函数的图象(如y=x2) y x o a a P/(-a ,f(-a)) p(a ,f(a)) -a y x o a P/(-a ,f(-a)) p(a ,f(a)) -a (-a,-f(a)) (-a,f(a)) 2.奇偶函数图象的性质: ⑵ 偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这