简捷连续扩阶法---奇阶魔方阵的快速构作.docVIP

簡捷連續擴階法---奇階魔方陣的快速構作 作者：巫光楨 住址：新竹縣湖口鄉中山路三段11巷2號 現職：新竹縣湖口鄉新湖國民小學教師 摘要：本文介紹一種填造奇階魔方陣的方法，規則簡易，數字的連續性高，又有多樣的變化，是一個十分值得推介使用的填製法。 魔方陣(Magic squares)是中國人最先發明的數學遊戲，或稱幻方、縱橫圖。一個 n 階魔方陣是把 1，2，3，……，n2的連續整數排列成一個方陣，使它的每一直行、橫列及對角線上的 n 個數字之和都相同。 找到一個造法簡單、速度快、適用於所有階數、一次可造出多種魔方陣的方法，一直是人們所渴望的，可惜的是到目前為止，還沒有任何方法可同時符合這些要求。 魔方陣的填製最為大眾所熟悉的莫過於 De la Loubere 的奇數階簡捷連續填製法：「 1 立首列中，右 1 上 1，受阻下 1」，以其法填製的 5 階魔方陣如圖1，此法貴在不必任何輔助工具，即可快速的將數字連續填入方陣，完成任意奇數階魔方陣的填製。 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 (圖1) 以簡捷連續填製法填製的5階魔方陣 本文介紹的簡捷連續擴階法(或稱風車型擴階法、扇頁型擴階法)也是不必任何輔助工具，即可將數字連續填製，造出奇階魔方陣的方法。但簡捷連續填製法雖可適用於任意奇階魔方陣的填製，在每一個階數僅能填製出一個非全等的魔方陣；風車型擴階法則不但可以適用於任意奇階魔方陣的擴階或填製，所造出的魔方陣還是同心魔方陣(或稱多層魔方陣)，亦即將魔方陣的最外一層數字去除後，仍然是一個魔方陣，只是數字不是由 1 開始而已。另外此法填製時，除了對角線上的數字不能更動位置外，各層方陣上下左右各區域的數字順序是可以在區域內任意調換的，只要相對位置(同一對角線或同一行、同一列的兩端)的數字也跟著調換即可，以圖2為例， 9 相對位置的數字為41 ， 49 相對位置的數字為1，若將9和49的數字互調時，41和1也要互調，調換後仍是魔方陣，所以利用本法可以造出的非全等魔方陣，在 5階時有 (3!) 2= 36 個，7階時更多達(5!) 2 (3!) 2= 18,662,400 個，……。規則簡易、數字填入的連續性高、速度快、可適用於所有奇數階、又富含變化，這真是一個接近夢想的奇階魔方陣填製法啊！  10 9 8 49 48 47 4 45 29 36 13 20 27 5 44 35 17 19 26 28 6 7 16 18 25 32 34 43 11 22 24 31 33 15 39 12 23 30 37 14 21 38 46 41 42 1 2 3 40 (圖2) 以簡捷連續擴階法將圖1擴為7階的魔方陣 首先介紹以本法進行擴階的做法，(圖2)就是以(圖1)的5階方陣為核心，利用本法擴階而成的7(=2×3+1，k值為3)階魔方陣，其做法如下： 將核心方陣的每一個數字加上最外圈數字數之半： (72-52)÷2=12。 將1～k(即1～3)的k個數字填在左下角和右下角之間的區域中(不含左下角和右下角)，數字的順序及位置不拘。 將k+1～2k(即4～6)的k個數字填在右上角和右下角之間的區域中(不含右下角)，除了k+1必須填在右上角外，其餘數字的順序及位置不拘。 將2k+1(即7)的數字置於左上角和左下角之間的區域中(不含左上角和左下角)，除了相對位置不可填有數字外位置不拘。 將2k+2～3k+1(即8～10)的k個數字填在右上角和左上角之間的區域中(不含右上角)，除了3k+1必須填在左上角，及相對位置不可填有數字外，其餘數字的順序及位置不拘。 將3k+2～4k(即11～12)的k-1個數字填在左上角和左下角之間的區域中(不含左上角和左下角)，除了相對位置不可填有數字外，數字的順序及位置不拘。 將剩餘的空格以相對位置的補數(當兩數之和為 n2+ 1時，該兩數互為補數)填滿後，即可完成魔方陣的填製。在本例中，只要找到1，在其相對位置上填入49(=72)、找到2，在其相對位置上填入48……，直到方陣填滿，完全不必計算。 現在來証明本法所擴階產生的任意 n=2k+1階方陣是為魔方陣，由填製的過程可知，只須証明最外圈的行列和為定和即可： 令m=n2+1=(2k+1)2+1=4k2+4k+2 則定和= 第一列的和為： 第n列的和為： 第1行的和為： 第n行的和為： 証明完成。 一般的同心魔方陣造法，因為數字的連續性不佳，填入數字時通常又要經過指定的運算，所以除了在擴階時使用外，很少有人拿來做為一般魔方陣的填製法。本法則不但適用於擴階，更適用於完整魔方陣的填製，圖3就是完全使用本法所填製完成的11階魔方陣，為了方便觀察，將連