函数最值-从配方法到求导法.docVIP

函数最值 从配方法到求导法 [前言] 函数最值 追根到初三 一位初三老师，在总结函数性质时说:“我们学过正比例函数，反比例函数，一次函数和二次函数，其中，二次函数很特殊，二次函数有最值，而其他3个函数没有最值，大家清楚吧！” “清楚！”——回声虽然响亮，但还有几个学生没有应声. 一个学生问：“反比例函数也有最值吧？” 另一个学生问：“一次函数为什么没有最值呢？” 老师回答：“这四个函数，只有二次函数有最值，其他3个函数没有最值，至于为什么，那要到高中数学中去学习！” 这位初三老师有点偷懒，其实他是完全可以讲清楚这个问题的．既然他没有讲，那么我们的高中学生，包括高三的学生，还真的得从这个问题研究起． 一、二次函数最值寻根 初中生研究二次函数的最值，是从配方法开始的. 设a0，f(x)=ax2+bx+c= 初三学生已知，二次函数f(x)，在a0时，有最小值；a0时，有最大值. 到了高中，学生更关心二次函数得到最值的条件，即上述不等式中等号成立的条件：.这个条件——自变量x的取值，称作二次函数最值对应的“最值点”（以下简称“最点”），俗称函数“最值的根”. 对于高一学生，老师把二次函数的“最值”与二次函数的“单调区间”相捆绑，要求用比较法探索“最点”. 【例1】 已知a0，探索二次函数y = ax2+bx+c的单调区间.并指出函数的最值点. 【解答】 任取 x1x2，x1，x2∈R. 则有 y1 – y2 = f (x1) – f (x2) = (※) （1）当x1，x2≤-时，有 由式(※)得 y1 – y2 =a 函数f (x)在上为减函数. （2）当x1，x2≥-时，有 由式（※）得 y1 – y2 =a 即函数f (x)在上为增函数. 综合（1）、（2）可知，二次函数y =ax2+bx+c ( a0 ) 有减区间和增区间. 显然，二次函数的最值点为，函数有最小值. 【评说】 从这里看到，二次函数的最点，就是两个“异性”单调区间的交接点. 【练1】 试研究一次函数没有最点，从而没有最值. 【解】 任取，则有 （1）时，，函数在R上为增函数. 时，;时，. （2）时，，函数在R上为减函数. 时，;时，. 所以，一次函数在R上没有最点，从而一次函数无最值（既无最大值，也无最小值）. 【说明】 一次函数定义在R上，定义域内找不到这样的“点”，使得该点两边邻域是异性的两个单调区间.本例从反面看到：最点是单调区间的“变性”的“转折点”. 二、从到 高中生将“最点”变形为，并由此得到一个一次函数. 精明的学生发现，这个一次函数与对应的二次函数有某种“关系”，甚至有学生在偷偷地利用这种“关系”. 这种“关系”到了高三才彻底解决：函数正是函数的导函数，即. 函数求“最根”的问题，正好是的导函数的“求根”问题. 导函数的根，就是的驻点.很清楚，二次函数的驻点就是二次函数的最点. 问题变得这么明朗：求的最点，就是求的根.俗说中“最根”，真的与“根”字巧合了. 【例2】 设，在同一坐标系中，分别作得和的图象（如右）. 试说明的正负性与单调性的对应关系. 【解析】 与相交于. （1）时，,递减； （2）时，,递增； （3）时，,得到最小值. 故对应关系为：（1）负区与的减区对应； （2）正区与的增区对应； （3）零点与的最值对应. 【练2】 已知二次函数的导函数图象如右图的直线，则有 （1）=（ ），增区间为（ ），减区间为（ ）； （2）的最（ ）值为（ ）； （3）若，求的解析式. 【解答】 从右图上看到 （1）的根为，故有=1； （2）时，0，故的增区间为； 时，0，故的减区间为； （3）有最大值，最大值为. （4） 令，图上知； 令，得. 故有. 【说明】 注意与并非一一对应，每一个这样的都对应着一个确定的，反过来，每一个这样的却对应着无穷个，它们只是相差一个常数c.这就是本题中，为什么已经知道了的图象后，还要给出时才能确定的解析式. 三、三次函数的驻点、极点和最点 一次函数没有驻点，自然没有最点. 二次函数有一个驻点，这个驻点就是二次函数的最点. 三次函数呢？ 三次函数的导函数是二次函数，这个二次函数根的情况有3种：（1）有2个相异的根，（2）有2个相同的根；（3）无根. 如果三次函数的导函数无根，则无驻点，自然也无最点，也无最值. 如果有根呢？自然一定有驻点. 那么，这些驻点是否为其最点呢？ 【例3】 研究函数的驻点、极点和最点. 【解析】 令，得，为的2个驻点. （1）时，0，函数递增； （2）时，0，函数递减； （3）时，0，函数递增. 故在有极大值，在上有极小值. 故，是的2个极点，前者为极大点，后者