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函数的性质——奇偶性 复习回顾 奇偶性定义 偶函数： 对于函数y=f(x)的定义域D(关于原点对称）内的任意实数x，都有f(-x)=f(x) 奇函数： 对于函数y=f(x)的定义域D(关于原点对称）内的任意实数x，都有f(-x)=-f(x) 概念辨析 函数y=f(x)的定义域关于原点对称是y=f(x)为偶(奇)函数的( )条件 相关结论: f1(x),f2(x)奇函数, g1(x),g2(x)偶函数 F1(x)=f1(x)+f2(x) 推广:任意函数f(x)都可表示成一个奇函数与一个偶函数的和 题型: 5.求函数解析式(给出一半求另一半) 6，函数与方程思想 7.判断抽象函数的奇偶性 例.已知f(a+b)=f(a)+f(b)对任意实数a,b都成立，则函数f(x)的奇偶性是（ ） 8. 已知奇偶性，求参量.(待定系数法) 9,数形结合思想 例:已知函数f(x)为奇函数，在x0上的图像如图所示，且f(-2)=0,求不等式xf(x)0的解集。 10.等价转化思想 例：设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+2)=-f(x),当 ，f(x)=x，求f(7.5)的值。 * 必要非充分 函数y=f(x)的图像关于y轴对称是y=f(x)为偶函数的( )条件 函数y=f(x)的图像关于原点中心对称是y=f(x)为奇函数的 ( )条件 充要 非充分非必要 函数y=f(x)过原点是y=f(x)为奇函数的( )条件 充要 函数y=f(x)过原点是y=f(x),D=R为奇函数的( ) 条件 必要非充分 奇函数 F2(x)=g1(x)+g2(x) 偶函数 F3(x)=f1(x)+g1(x) 非奇非偶函数 F4(x)=f1(x)g1(x) 奇函数 F5(x)=f1(x)f2(x) 偶函数 F6(x)=g1(x)g2(x) 偶函数 F7(x)=f1[f2(x)] F9(x)=f1[g1(x)] F8(x)=g1[g2(x)] F10(x)=g1[f1(x)] 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 其中: 3, 判断(证明)函数的奇偶性 A.定义域关于原点对称; B.f(-x)与f(x)的关系 非奇非偶可以通过举例说明 4, 定义域: 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 既奇又偶函数 奇函数 解：f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0 f(x)+f(-x)=f(0)=0 所以f(-x)=-f(x) 解：f(7.5)=-f(5.5)=-[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5) =-[-f(-0.5)]=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5 注：f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数值重复出现，函数具有周期性 *