排列、组合典型例题分析.docVIP

排列、组合典型例题分析　例1 　设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ ???? 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法． ???? 　（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法． 　　点评?? 由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． ????例2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少种？ 　　解?? 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： 　　　　 符合题意的不同排法共有9种． 　　点评?? 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 　　例３　判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． 　　（1）高三年级学生会有11人：每两人互通一封信，共通了多少封信？每两人互握了一次手，共握了多少次手？ 　　（2）高二年级数学课外小组共10人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ 　　（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ 　　（4）有8盆花：从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 　　分析　（1）由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． 　　（1）是排列问题，共用了 封信；是组合问题，共需握手 （次）． 　　（2）是排列问题，共有 （种）不同的选法；是组合问题，共有 种不同的选法． 　　（3）是排列问题，共有 种不同的商；是组合问题，共有 种不同的积． 　　（4）是排列问题，共有 种不同的选法；是组合问题，共有 种不同的选法． 　　例４　证明 ． 　　证明　 左式 　　　　　　　　　　　　 右式． 　　　　　 等式成立． 　　点评　这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化． 　　例5　化简 ． 　　解法一　原式 　　解法二　原式 　　点评?? 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化． 　　例6　解方程：（1） ；（2） ． 　　解 （1）原方程 　 　　　　　　　　　　　　　　 解得 ． 　　　　（2）原方程可变为 　　　　　 ， ， 　　　　　 原方程可化为 ． 　　　　　即 ，解得 例1??5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种? 解：??5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有 3×3×3×3×3=35(种) (二)排列、排列数公式 说明??排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查. 例2??由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的 偶数共有(????) A.60个????????B.48个????????C.36个????????D.24个 解??因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个) 由此可知此题应选C. 例3??将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种? 解：??将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为 3P13=9(种). 例四　例五可能有问题，等思考例4??从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少