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如何利用几何直观帮助学生理解算理 、 一、缘起 几何直观，是利用图形描述和分析问题，是《数学课程标准》中的十大核心概念之一。几何直观不仅在图形与几何中用到，在数与代数、统计与概率、综合与实践中都能用到。遇到一个比较复杂、比较抽象的对象，能用直观的办法，用图形的办法，把它描述刻画出来，会使这个对象更容易理解，这是一种能力。现代社会需要培养学生具有应用几何直观的能力。 数与代数的教学，包括数的认识、数的运算、常见的量、探索规律。在学习每块知识时都可以借助几何直观。在数的运算教学中，较多教师注重算法，强调熟练技能，忽略算理。其实学生计算能力的提高，不仅仅是提高学生计算的熟练程度，更重要的是让学生理解算理，将计算的方法融会贯通于数学的其他方面，提高学生的数学素养。算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的。在加、减、乘、除四则运算教学时教师不妨将几何直观落实到位，发挥几何直观对理解算理的作用。 二、小学阶段四则运算整理 学段 年级 册数 内 容 第 一 学 段 一年级 一上 1-5的认识和加减法 6-10的认识和加减法 20以内进位加法 一下 20以内退位减法 100以内的加法和减法 二年级 二上 100以内的加法和减法 表内乘法（一） 表内乘法（二） 二下 表内除法（一） 表内除法（二） 万以内的加法和减法（一） 三年级 三上 万以内的加法和减法（二） 有余数的除法 多位数乘一位数 分数的 简单计算 三下 除数是一位数的除法 两位数乘两位数 简单的小数加减法 第 二 学 段 四年级 四上 三位数乘两位数 除数是两位数的除法 四下 四则运算 运算定律与简便计算 小数的加减法 五年级 五上 小数乘法 小数除法 五下 分数的加法和减法 六年级 六上 分数乘法 分数除法 六下 三、案例分析 在计算教学中要重视算理。理解运算的意义往往要经历四个阶段：情境感知、动作表征、语言表征、符号表征。在中小学数学教学中几何直观具体表现为四种形式，即实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观。教学时，学生的年龄特点和教学内容，通过直观感知，重视数形结合等方法，培养几何直观的能力。 （一） 实物直观演示指借助与研究对象有一定联系的现实世界中的实际存在物，进行简捷、形象的思考和判断。实物直观演示可以是实际存在物，也可以借助小棒等辅助的实物直观演示。低年级学生，尤其是一年级学生以具体形象思维为主要形式，较多采用动作表征，教学时常用实物直观演示来感知从而理解算理。 人教版一年级上册《20以内进位加法》，学生用小棒、圆片等实物操作来感知“凑十”的过程和方法，进而理解“凑十”的算理。如《9加几》的教学9+4，出示格子图（空白）。 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○○ 学生同桌合作在格子里面摆9个圆片，外面放4个圆片。学生通过观察，动手“拿”，从外面拿1个放进格子里，这样格子里就“凑”成10个圆片，外面还有3个，“合”起来就是13个圆片。在“拿”的基础上提升，把4分成1和3,1和9凑成10,10加3是13。最后学生用语言来描述“拿、凑、合”的过程。此时，学生能很好的理解“凑十”的含义，从而掌握“凑十法”。学了9+4，举一反三，9、8、7、6、5、4、3、2加几都会学了。20以内退位减法，“破十法”、“连减法”也是如此。13-9， ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○○，“破十法”，学生从盒子里拿出9个，还剩1个，和外面3个合起来是4个。“连减法”，从外面拿走3个，不够，再从格子里拿走6个，还剩4个。“破十法”用实物直观演示突出“拿、合”的过程，“连减法”用实物直观演示突出连拿两次的过程。实物直观演示，尤其是学生借助格子图经历操作演示，把复杂的凑十、破十、连减变得直观、简单。 （二）简约符号直观 8—12岁儿童知觉和观察发展趋势是从无意性、情绪性、不精确性向有意性、目的性、精确性和有组织性方向发展，想象趋于完善，有意想象的成分大为增加，具有直观性和具体性。基于这样的特点，在小学三、四年级理解算理时，可发挥简约符号直观的价值。 人教版三年级下册第一单元《除数是一位数的除法》，它是在表内乘除法、一位数乘多位数的基础上进行教学，整数除法又是小数除法的依据，除数是一位数的除法是笔算除法的奠基石，是教学的重头戏。《除数是一位数的除法.》，口算方法学生熟练，笔算大多数学生不会，新知识点多，如商的定位、两次试商、竖式的书写、对算理的理解等。利用简约符号直观，以探究计算顺序和竖式的书写为线索，以理解算理为核心。教学可分四步： 1．动手操作。42÷2,52÷2，分别把42根、52根小棒平均分成两份，学生根据已有知识经验分