IEEE754浮点表示方法.docVIP

前一节中谈到的定点表示法不能很有效地表示非常大的数字。例如，表达式5 × 2100是用101后面跟随100个零组成的位模式来表示。相反地，我们希望通过给定x和y的值，来表示形如x × 2y的数。 IEEE浮点标准用V = (-1)s × M × 2E的形式来表示一个数： 符号（sign）　s决定这个数是负数（s=1）还是正数（s=0），而对于数值0的符号位解释作为特殊情况处理。 尾数（signi?cand）　M是一个二进制小数，它的范围是1～2-ε，或者是0～1-ε。 阶码（exponent）　E的作用是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂（可能是负数）。 将浮点数的位表示划分为三个字段，分别对这些值进行编码： 一个单独的符号位s直接编码符号s。 k位的阶码字段exp = ek-1…e1e0编码阶码E。 n位小数字段frac = fn-1…f1 f0编码尾数M，但是编码出来的值也依赖于阶码字段的值是否等于0。 图2-31给出了将这三个字段装进字中两种最常见的格式。在单精度浮点格式（C语言中的?oat）中，s、exp和frac字段分别为1位、k = 8位和n = 23位，得到一个32位的表示。在双精度浮点格式（C语言中的double）中，s、exp和frac字段分别为1位、k = 11位和n = 52位，得到一个64位的表示。 ? 情况1：规格化的值 这是最普遍的情况。当exp的位模式既不全为0（数值0），也不全为1（单精度数值为255，双精度数值为2047）时，都属于这类情况。在这种情况中，阶码字段被解释为以偏置（biased）形式表示的有符号整数。也就是说，阶码的值是E = e-Bias，其中e是无符号数，其位表示为ek-1…e1e0，而Bias是一个等于2k-1-1（单精度是127，双精度是1023）的偏置值。由此产生指数的取值范围，对于单精度是-126～+127，而对于双精度是-1022～+1023。 对小数字段frac的解释为描述小数值f，其中0≤ f 1，其二进制表示为0.fn-1…f1 f0，也就是二进制小数点在最高有效位的左边。尾数定义为M = 1 + f。有时，这种方式也叫做隐含的以1开头的（implied leading 1）表示，因为我们可以把M看成一个二进制表达式为1.fn-1 fn-2…f0的数字。既然我们总是能够调整阶码E，使得尾数M在范围1 ≤ M 2之中（假设没有溢出），那么这种表示方法是一种轻松获得一个额外精度位的技巧。由于第一位总是等于1，因此我们就不需要显式地表示它。 情况2：非规格化的值 当阶码域为全0时，所表示的数就是非规格化形式。在这种情况下，阶码值是E = 1 - Bias，而尾数的值是M = f，也就是小数字段的值，不包含隐含的开头的1。 对于非规格化值为什么要这样设置偏置值 使阶码值为1-Bias而不是简单的-Bias似乎是违反直觉的。我们将很快看到，这种方式提供了一种从非规格化值平滑转换到规格化值的方法。 非规格化数有两个用途。首先，它们提供了一种表示数值0的方法，因为使用规格化数，我们必须总是使M≥1，因此我们就不能表示0。实际上，+0.0的浮点表示的位模式为全0：符号位是0，阶码字段全为0（表明是一个非规格化值），而小数域也全为0，这就得到M = f = 0。令人奇怪的是，当符号位为1，而其他域全为0时，我们得到值-0.0。根据IEEE的浮点格式，认为值+0.0和-0.0在某些方面是不同的，而在其他方面是相同的。 非规格化数的另外一个功能是表示那些非常接近于0.0的数。它们提供了一种属性，称为逐渐溢出（gradual under?ow），其中，可能的数值分布均匀地接近于0.0。 情况3：特殊值 最后一类数值是当指阶码全为1的时候出现的。当小数域全为0时，得到的值表示无穷，当s = 0 时是+∞，或者当 s = 1时是-∞。当我们把两个非常大的数相乘，或者除以零时，无穷能够表示溢出的结果。当小数域为非零时，结果值被称为“NaN”，就是“不是一个数”（Not a Number）的缩写。一些运算的结果不能是实数或无穷，就会返回这样的NaN值，比如当计算 在某些应用中，表示未初始化的数据时，它们也很有用处。