参数分离虽巧,分类讨论不笨.docVIP

参数分离虽巧，分类讨论不笨 江苏泰兴市第二高级中学 叶玉明 一遇到对于某个变量恒成立，求参数取值范围的问题，同学们总是想到参数分离法，即将参数移到一边，变量移到另一边，然后应用这样的结论：，转化为求函数在某个区间的最值问题。这方法虽巧，它直接明了，击中要害，但对于复杂的函数求最值，就遇到了困难，那我们就应该转换思路，用另一种方法——分类讨论法来解决，它也不笨。下面举几道高考题说明。 例1、（2006年全国卷Ⅱ）设函数，若对所有的都有成立，求的取值范围。 分析：有大部分同学立刻想到分离参数，即转化为恒成立，应用函数的导数求最小值。但遇到极值点求不出陷入困境，解不下去。如果移项转化为恒成立，再应用导数，对进行讨论就简单了。 解：， 若则恒成立，所以在上是增函数，即 若则 由， 故当时不恒成立即不恒成立。 综合（1）、（2），所以的取值范围是。 例2、（2007年全国卷ⅰ理）设函数 求证；（2）若对所有的都有，求的取值范围。 分析：（1）略 （2）由于成立，当时， 然后对求导，再求最值，这是最容易想到的方法，但解方程有困难；如果移项对进行讨论，就豁然开朗了。 解：（2）令则 ①当时 即在上为增函数，故 又 所以恒成立； ②当时在上有增有减，不恒成立即不成立。综合以上可得：的取值范围是。 例3、（2010年新课标全国卷）设函数 （1），求的单调区间； （2）当时，求的取值范围。 分析：（1）略 （2）时显然成立，当时 对右边求导，求极值但遇到了困难，如果应用分类讨论就迎刃而解了。 解：当时，令 则， 当时即在上是增函数，则又即也即恒成立。 当时由也即在上有增有减，不恒成立，也就不恒成立。 综上的取值范围是 总结：在解决实际问题时，我们总喜欢找点技巧很快解决，但有时事与愿违寸步难行，由此还是规劝同学要从最基本常用的方法考虑，不能总怕烦，有时可能并不烦，还有意想不到的效果呢！ 下面给出两道供大家练习： 已知函数（且为常数）若对所有的都有，求的取值范围。 已知函数，若在内恒成立，求的取值范围。 答案：1、 2、