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第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为和的两个点电荷分别置于m和m处一试验电荷置于轴上何处，它受到的合力等于零？ 位于点电荷的右侧，它受到的合力，所以 故 2. 电量都是的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以处点电荷为研究对象，由力平衡知，为负电荷，所以 故 (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示为、电荷线密度为的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为、电荷线密度为的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处求该直线段受到的电场力均匀带电圆环在其轴线上带电圆环，在带电圆环轴线上 根据电荷分布的对称性知， 式中：为到场点的连线与轴负向的夹角。 下面求直线段受到的电场力直线段，受到的电场力 方向沿轴正方向。 直线段受到的电场力 方向沿轴正方向。 4. 一个半径为的均匀带电半圆环，电荷线密度为。求： （1）圆心处点的场强； （2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处点场强。 解：（1）在半圆环上取，它在点产生场强大小为 ，方向沿半径向外 根据电荷分布的对称性知， 故 ，方向沿轴正向。 （2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。 5．如图所示，真空中一长为的均匀带电细直杆，总电为，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为的点的电场强度均匀带电细直杆，在点产生的场强大小为 ，方向沿轴负方向。 故 点场强大小为 方向沿轴负方向。 6. 一半径为的均匀带电半球面，其电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。 解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。 在半球面上取宽度为的细圆环，其带电量， 在点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式） ，方向沿轴负方向 利用几何关系，，统一积分变量，得 因为所有的细圆环在在点产生的场强方向均沿为轴负方向，所以球心处电场强度的大小为 方向沿轴负方向。 7. 一“无限大”平面，中部有一半径为的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为如图所示试求通过小孔中心并与平面垂直的直线上各点的场强 解：应用补偿法和场强叠加原理求解。 若把半径为的圆孔的半径为的圆点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆点产生的场强大小为 ，方向沿轴正方向 半径为的圆点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式） ，方向沿轴负方向 故 点的场强大小为 方向沿轴正方向。 8. (1)点电荷位于一边长为的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少? 解：（1）由高斯定理求解。立方体六个面，当在立方体中心时，每个面上电通量相等，所以通过各面电通量为 （2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长的立方体，使处于边长的立方体中心，则通过边长的正方形各面的电通量 对于边长的正方形，如果它不包含所在的顶点，则，如果它包含所在顶点，则。 9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和，试求空间各处场强。 解：如图所示，电荷面密度为的平面产生的场强大小为 ，方向垂直于该平面指向外侧 电荷面密度为的平面产生的场强大小为 ，方向垂直于该平面指向外侧 由场强叠加原理得 两面之间，，方向垂直于平面向右 面左侧，，方向垂直于平面向左 面右侧，，方向垂直于平面向右 10. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为和，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为（）。试求各区域的电场强度分布。 解：电场具有球对称分布，以为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理得 当时，，所以 当时，，所以 当时，，所以 11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为和（），若大球面的面电荷密度为，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。 解:（1）电场具有球对称分布，以为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理得 当时，，，所以 （2）当时，，所以 当时，，所以 负号表示场强方向沿径向指向球心。 12. 一厚度为的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为，求板内外的场强。 解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到平板中心的距离均为，底面圆的面积为。由高斯定理得 当时（平板内部），，所以 当（平板外部），，所以