分离变量法.docVIP

（2.1） （2.2） （2.3） 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1）、（2.2）、（2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。 这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间，即每个单音可表示成的形式，这种形式的特点是：中的变量与被分离出来了。 根据上面的分析，现在我们试求方程（2.1）的变量分离形式的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中分别表示仅与x有关及仅与t有关的待定函数。 由得，，代入方程（2.1）得，或。 这个式子左端仅是的函数，右端仅是的函数，一般情况下二者不可能相等，只有当它们均为常数时才能相等。令此常数为，则有，这样我们就得到两个常微分方程： （2.4） (2.5) 再利用边界条件(2.2),由于，故有，但，因为如果，则，这种解显然不是我们所要求的，所以（2.6） 因此要求方程（2.1）满足条件（2.2）的变量分离形式的解，就先要从下列常微分方程的边值问题 中解出。 现在我们就来求非零解，但要求出并不是一个简单的问题。因为方程（2.5）中含有一个待定常数，所以我们的任务既要确定取何值时方程（2.5）才有满足条件（2.6）的非零解，又要求出这个非零解。这样的问题成为常微分方程（2.5）在条件（2.6）下的固有值（特征值）问题，使问题（2.5），（2.6）有非零解的成为该问题的固有值（特征值），相应的非零解称为它的固有（特征）函数。下面我们对分三种情况来讨论。 设，此时方程（2.5）的通解为 由条件（2.6）得 解出A，B得 即，不符合非零解的一起，因此不能小于零。 设，此时方程（2.5）的通解为，由条件（2.6）还是得，所以也不能等于零。 设，并令，为非零实数。此时方程（2.5）的通解为 由条件（2.6）得 ， 。 由于B不能为零（否则），所以，即（n为负整数可以不必考虑，因为例如，实际上还是的形式）从而，这样，我们就求出了固有值问题（2.5），（2.6）的一系列固有值及相应的固有函数： 确定了的值后，现在再来求函数，以（2.7）式中的代入方程（2.4）中得 ， 显然，其通解为 于是由（2.8），（2.9）得到满足方程（2.1）及边界条件（2.2）的一组变量被分离的特解 其中是任意常数。至此，我们的第一步工作已经完成了，求出了既满足方程（2.1）又满足边界条件（2.2）的无穷多个特解。为了求原定解问题的解，还需要满足条件（2.3）.由（2.10）式所确定的一组函数虽然已经满足方程（2.1）及条件（2.2），但不一定满足初始条件（2.3）。为了求出原问题的解，首先我们将（2.10）中所有函数叠加起来 （2.11） 由叠加原理可知，如果（2.11）右端的无穷级数是收敛的，而且关于都能逐项微分两次，则它的和也满足方程（2.1）和条件（2.2）.现在我们要适当选择，使函数也满足初始条件（2.3），为此必须有 因为是定义在上的函数，所以只要选取为的傅氏正弦级数的展开式的系数，也就是 （2.12） 初始条件（2.3）就能满足。以（2.12）所确定的代入（2.11）式，即得原定解问题的解。 当然，如上所述，要使（2.12）式所确定的函数确实是问题（2.1）（2.2）（2.3）的解，除了其中的系数必须由（2.12）确定以外，还要求这样得到的级数收敛，并且能够对逐项微分两次。这些要求只要对函数及加一些条件就能满足。可以证明（参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》1979年版第一章s3），如果三次连续可微，二次连续可微，且，则问题（2.1）（2.2）（2.3）的解存在，并且这个解可以用（2.11）给出，其中由（2.12）式确定。 需要指出的是，当与不满足这里所述的条件时，由（2.11），（2.12）所确定的函数不具备古典解的要求，它只能是原定解问题的一个形式解。由实变函数的理论可知，只要与在上是可积的，函数列 分别平均收敛于与，其中由（2.12）确定。 如果将初始条件（2.3）代之以 则相应的定解问题的解为 当时，它平均收敛于（2.11）所给的形式解。由于既满足方程（2.1）及边界条件（2.2），又近似的满足初始条件（2.3），所以