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第六讲 归纳与探索 一、高考要求： 1．数学科高考旨在考查中学数学的基础知识，基本技能，基本思想和方法。考查思维能力，运算能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力，归纳与探索的能力。 2．数学的思想方法的考查与数学知识的考查结合进行，考查时，从学科整体意义和思想含意上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。 3．对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力强调探究性，综合性，应用性，坚持多角度，多层次地考查。 二、试题选析： 例1．（全国试题）如图，在直四棱柱中，当底面四边形ABCD满足条件__________时，有，（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 分析：这道题的结论已经给出，需要补充其中的一个条件，我们可从结论入手，探索、寻求所需条件，也可把这个四棱柱变回正方体猜想。 解一：∵为直四棱柱，∴在平面ABCD的射影为AC 又∵ ∴当时，则有，故填上： 解二：联想正四棱柱具有性质：，因而填上“正方形”即可，类似地也可填上“菱形”……等条件。 反思：对于条件不完备需要补充条件的，我们可以“执果索因”从结果去探索，猜想。 例2．（05 天津-16）设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 分析：是上的奇函数，∴ 又∵图象关于对称，所以有 ∴ ∴T=2 ∵ ∴， ∴ 故 注意：探索寻求规律。 例3．（05-山东-6）函数 若，则的所有可能值为 （ ） A．1 B．1， C． D．1， 答案：B 分析：∵，要知 从可知10， ∴，则只能为1。 若在（-1，0）内， （） 怎么为1？探索两种情况：，但 ∴ ， 若，∴， 故的可能值为1， ∴选 （B） 例4．（05全国I-11）用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm）的五根细木棒围城一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ） A． B． C． D． 分析：令 由海伦公式 = 由于“=”成立的条件为 不满足，∴等号成立不了，便排除（C）（D）。 由以上不等式推测猜想三边时面积最大，故猜想、、三边长最接近时面积最大，此时的三边长为7，7，6，面积为，故选 （B） 也可联想：定长线数1围城封闭图形时，圆面积最大，围成多边形时，正多边形面积最大，不能围成正多边形时边长差越小面积越大！∴选 7，7，6，体现探究、猜想。 例5．（04全国III-12）设函数为奇函数， 则 （ ）找规律，探索解题方向。 A．0 B．1 C． D．5 分析： 奇 特殊方法，探索：设，，∴ 则 ∴ 直接求法：令， ∴ 令， ∴ 令得 ∴ 三、例题解析 1．（上海高考题）在等差数列中， 若，则有等式： （，）成立，类比上述性质。 相应地：在等比数列中，若则有等式： （，）成立。 解：（1）从分析所给性质入手~探索： 由 ，可得， 因而当n19时， 有 而 同理可得时的情形，∴等式成立。 由此可知：等差数列之所以有等式成立的性质关键在于等差数列中有性质： ，类似地，在等比数列中，也有性质： 因而得到答案： （，） 注意：从经验知，中等差中项的和的性质在中就有类似的项的积的性质， ∴中 中 知 因而猜想 2．（上海考题）若四面体各棱长分别为2和1，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是__________（只需写出一个可能的值） 分析：关键在于有几条棱长为2，几条棱长为1。 据题意作图如下： 只有这三种情况。 从（1）可计算出其体积为 从（2）可计算出其体积为 从（3）可计算出， = 如果此题改为各棱长均为2或1，但不是正四面体，怎样安排最大体积是__________。 答案： 3．已知等差数