函数、极限、连续重要概念公式定理.docVIP

一、函数、极限、连续（一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列,如果存在常数,对任给,存在正整数,使当时,恒有,则称是数列的当趋于无穷时的极限,或称数列收敛于,记为.若的极限不存在,则称数列发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列收敛,即,则极限是唯一的． (2)有界性：若,则数列有界,即存在,使得对均有. (3)局部保号性：设,且,则存在正整数,当时,有. (4)若数列收敛于,则它的任何子列也收敛于极限. （二）函数极限的定义 名称 表达式 任给 存在 当…时 恒有 当时,以为极限 当时, 以为极限 当时, 以为右极限 当时, 以为左极限 当时, 以为极限 当时, 以为极限 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：对任意一串,都有 ． 2.充要条件：(1); (2). 3.柯西准则：对任意给定的,存在,当 ,时,有. 4.夹逼准则：若存在,当时,有,且则. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的,有(或),且存在常数,使(或),则存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设. (1)若,则称是比高阶的无穷小量. (2). (3)是同阶无穷小量. (4),记为. (5) 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当时, （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 . 定理2 . 定理3 (保号定理)：,当 . 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在的领域内,恒有,且 则． 定理6 无穷小量的性质： (1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量． 定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设,则 (1) (2) (3) 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设连续,则也连续． （六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备) (1) (2)(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设,且则有,) (3)． (4)函数在处连续(5)当时,以下各函数趋于的速度 (6)几个常用极限 （七）连续函数的概念 1. 在处连续,需满足三个条件： ①在点的某个领域内有定义 ②当时的极限存在 ③2. 在左连续：在内有定义,且. 3. 在右连续：在内有定义,且. 4. 在内连续：如果在内点点连续． 5. 在内连续：如果在内连续,且左端点处右连续,右端点处左连续． （八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容) 1．有界性定理：设函数在上连续,则在上有界,即常数,对任意的,恒有． 2．最大最小值定理：设函数在上连续,则在上至少取得最大值与最小值各一次,即使得： ; . 3．介值定理：若函数在上连续,是介于与(或最大值与最小值)之间的任一实数,则在上至少一个,使得 ． 4．零点定理：设函数在上连续,且,则在内至少一个,使得 （九）连续函数有关定理 1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续． 3．复合函数的连续性：在点连续,,而函数在点连续,则复合函数在点连续． 4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数． （十）间断点的定义及分类 1．定义：若在处,不存在,或无定义,或,则称在处间断,称为的间断点． 2．间断点的分类 间断点的类型 条件 例子 第一类间断点 可去型间断点 是的可去型间断点 跳跃型间断点 是的跳跃型间断点 第二类间断点 无穷型间断点 之一是无穷大 是的无穷型间断点 振荡型间断点 之一不存在且不是无穷大 是的振荡型间断点 一、函数、极限、连续（一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列,如果存在常数,对任给,存在正整数,使当时,恒有,则称是数列的当趋于无穷时的极限,或称数列收敛于,记为.若的极限不存在,则称数列发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列收敛,即,则极限是唯一的． (2)有界性：若,则数列有界,即存在,使得对均有. (3)局部保号性：设,且,则存在正整数,当时,有. (4)若数