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分块初等变换的应用 分块矩阵的初等变换和普通的初等变换类似，也分成三类: 第一类: 对调分块矩阵的两（块）行或两（块）列; 第二类: 以某可逆矩阵左乘以分块矩阵的某一（块）行, 或右乘以某个 （块） 列; 第三类: 以某个矩阵左乘以分块矩阵的某一（块）行后加到另一（块）行上 去, 或以某个矩阵右乘以分块矩阵的某一（块）列后加到另一（块）列上去. 相应地，我们也有分块初等矩阵。例如，将某个单位矩阵进行如下分块: ⎛Em O ⎞ ⎜ ⎟ O E ⎝ n ⎠ 对其进行一次分块初等变换, 可得到如下类型的一些分块初等矩阵: ⎛ O En ⎞⎛P O ⎞ ⎛Em O ⎞ , , , ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝Em O ⎠⎝O En ⎠ ⎝ O P ⎠ ⎛Em P ⎞⎛Em O ⎞ , ⎜ ⎟⎜ ⎟ O E P E ⎝ n ⎠⎝ n ⎠ 应用分块初等变换于解题，基于下列重要事实：用这些块初等矩阵左（右） 乘任一个分块矩阵, 其结果就是对它进行相应的分块行（列）变换. 分块初等变换法解题的技巧往往是通过分块初等变换将分块矩阵化为准三 角阵。比如， ⎛Em O ⎞⎛A B ⎞ ⎛ A B ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟， ⎝ P En ⎠⎝C D ⎠ ⎝C +PA D +PB ⎠ 适当选择P , 可使C +PA O ，从而分块矩阵就成为准上三角阵, 这种形状的矩 阵在求行列式、逆矩阵和解决其他问题时是比较方便的. 分块初等变换与分块初等矩阵是处理分块矩阵的有力工具。下面我们举例予 以说明。 1．设 A,D 分别是m ，n 阶方阵，证明： A B ⎧A D CA−1B A | || − |, 若 可逆 ⎨ −1 。 C D | D || A −BD C |, 若D可逆 ⎩ 证 用第三类块初等变换。当 A 可逆时，第一行左乘−CA−1 加到第二行，得 ⎛A B ⎞ ⎛A B ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → 。 ⎜C D ⎟ ⎜0 D −CA−1B ⎟