能分拆成连续整数和的整数的特性.pdfVIP

2007年第11期 中学数学月刊 -31· 能分拆成连续整数和的整数的特性 周士藩 (苏州大学数学科学学院215006) 先从一个实例谈起：一个大剧院共30 排，第一排有29个座位，从第二排起，每排比 前一排多1个座位，那么该剧院内共有多少 可见和是n的奇数倍数，这个奇数倍数 个座位? 这个问题，就是化归为30个连续整数 垫j≤攀的2倍，也是(2)式中最小的数 L 305． 29．30．…，58的和l 与最大的数的和，又是(2)式中最中间的相 现在把问题倒过来考虑，已知一个整数 邻两个数n+”与n+”+l的和． (比如l305)能分拆成若干个连续整数的 说明 从性质1，2中可知，若干个连续 和，共有几种不同拆法?为此，先介绍三个性 整数的和必是奇数的倍数． 质． 现在我“J利用性质1，2以及其中(1)、 性质1 2n～1个连续整数的和必是2n (2)，两式来探索“任意一个整数分拆成若干 一1的倍数，并且这个倍数正是它们的平均 个连续整数之和”的问题．现在先看一个例 数，也是其中最小的数与最大的数的平均数． 子： 也是这2n一1个数从小剑大排列中的第n个 例1 将整数(2n一1)￡分拆成若干个连 数(”∈N+)． 续整数的和，共有几种拆法?(”∈N+，}是非 证明 设2n一1个连续整数是 零整数)． d+1，日+2．…，d+n，n+n+1，…， d+2”1． (1) 分析与解 从性质1知，奇数个连续整 于是它们的和是 数的和必是这奇数的倍数；由性质2知，偶数 个(设为2n)连续整数的和必是m的奇数倍 (Ⅱ+1)+(d+2)+…+“+(2”一 数，也就是说，要分拆一个整数。必须从正奇 1)一(2”一1)(“+”)． 数人手． 可见和是2”一l的倍数，这个倍数是d +”，正是(1)式中第”个数，也是“+1与a 的倍数，即有2n一1个￡，于是可以分拆成下 +2n1的平均数． 列2n一1个连续整数的和： -|生质22n个连续整数的和是n的奇数 z l (3) n+1，…，￡ l，￡，f+1，…，￡+n 倍数，并且这个奇数倍数正是它们平均数的 ——■X 一