拓扑动力系统中轨道的a熵集.pdfVIP

第28卷第1期 成都大学学报(自然科学版) V，01．28NO．1 of University(NaturalScienceEdition) Mar．2009 2009年3月 JournalChengdu 文章编号：1004—5422(2009)01一0024—04 拓扑动力系统中轨道的。一熵集 邹 成 (四川化工职业技术学院基础部，四川泸州646005) 摘要：(X，一是紧的拓扑动力系统，一个点膏∈X叫a一熵点．如果h(f，o也(善))=a，则所有这样的点组成轨 道的a一熵集F(X，p．讨论了在同一个，下，拓扑空间(x，力的熵、口一熵集g(x，p的熵以及最大熵轨道的 熵魏h(or6Ax)，力，并提出两个尚待解决的问题· 关键词：轨道；传递点；口一熵集；拓扑熵 中图分类号：0189．1 文献标识码：A 有拓扑混合性，如果对VⅡ，t，∈X，且M，F是非空 O 引 言 开集，jNO，使得当，lN时，有厂(M)n秽≠ 动力系统近年来得到了蓬勃的发展，其核心 垂． 的问题是迭代所产生的轨道的渐近性或拓扑结 混沌集可认为是轨道的无限穿行而产生的， 构．轨道作为动力系统研究的基本对象，系统的很 而熵是系统混乱程度的一种度量，拓扑熵是拓扑 多性状都是通过轨道展现出来的．试想，一条(特 动力系统中只依赖于连续性的一个非负值．迄今 别是多条)轨道在一个集合中到处穿行，它必将使 为止，熵都因为过于复杂而让人很难掌握，研究起 系统产生意想不到的情况． 来也是困难重重，要完整地了解熵，读者可参阅文 献[4，5]．目前，拓扑熵主要有两种定义：熵的开覆 X是紧的拓扑空间(X亦可是cr流形)，设f： X—x是x到自身的一个连续映射，厂在X上的迭盖定义和Bowen定义，这两种定义在紧空间里是等 价的，本文记为^(兄．厂)或简记为h(．厂)． 代产生了(半)动力系统，记为(x，力．称orbAx) ={广(茗)lk∈Z}为厂经过算的轨道．又若厂(菇) 下面将首先给出传递点和a一熵集的定义，然 =菇，则称量为．厂的聘一周期点，此时，经过戈的轨 后对a一熵集一些基本性质进行讨论。最后再证明 道为：{z，．厂(菇)，…．厂-1(并)}【lJ． 本文的主要结论：在同一个映射下，拓扑空间的熵 当然，一条轨道为周期轨道当且仅当它为有 和a一熵集的熵以及最大熵轨道的熵是相等的． 根据文献[6]，给出以下定义： 限轨道．而任给舅∈X，它的紧致子集o，6，(菇)对f 定义2(x，．厂)是紧致系统，称戈∈X是系统 是不变的，因此厂I面：orb：(茗)一orb：(茗)是一 的一个传递点，如果厂经过茗的轨道or6，(髫)在X中 子系统‘2j． 是稠密子集，即or6，(舅)=X，称菇∈X为熵(混沌) 1 定 义 传递点，即指其能导出的闭集在，下的熵大于零 本文下指的x均是一个紧的拓扑空间，(x，一 (或混沌)的轨道．熵(混沌)传递点集不大于传递 点集． 是一个紧的系统。d为X的一个拓扑度量． 定义l‘31x是紧肋拓扑空间，(x，p的任意 定义3(x，一是紧致系统，实数口≥0，一个 轨道都在X中稠密，则称f具有极小性