阿基米德如何导出球的体积.pdfVIP

阿基米德如何導出球的體積 p1 度量公設 ： (一)長度單位選定後,每一個線段或曲線都恰有一個正數作為該線段或曲線的長,叫作長度存在公長度存在公 長度存在公長度存在公 設。 設 設設 (二)面積單位選定後,每一個封閉區域都恰有一個正數作為該封閉區域的面積,叫作面積存在公設面積存在公設 。 面積存在公設面積存在公設 (三)體積單位選定後,每一個幾何體都恰有一個正數作為該幾何體的體積,叫體積存在公設體積存在公設 。 體積存在公設體積存在公設 (四)體積公設一體積公設一 ：長方體的體積等於它的長與寬與高的乘積。 體積公設一體積公設一 (五)體積公設二體積公設二 ：(祖沖之原理,洋人叫卡瓦萊利原理 ) 體積公設二體積公設二 卡瓦 萊利體積原理 ：具有相同高度且每一個橫截面的截面積均相等之 幾何體有相同的體積 。 Special case：具有相同的底面積 和高度之角柱或圓柱體有相同的體積 。 (note：柱體的每一個 橫截面的截面積 均與底面積相同) 例題一 ：如右圖：直四角柱與斜四角柱 只要底面積相同高也相同,則體積相同 。 例題二 ：如右圖：柱體只要底面積相同 高也相同,則體積相同 。 定理一 ：錐體底面積和任何平行底面之截面積比等於對應高的平方比。(相似性質) pf：(一)錐體是角錐體時 ,如右圖所示 ：用三角錐代表角錐體 BD PB BH PH 1 1 1 1 1 1 1 1 = = = BD PB BH PH 1 1 兩相似三角形之面積比等於邊長的平方比 因此∆BDF面積 ：∆BDF面積 1 1 1 S BD 2 PH 2 d 2 1 1 1 1 1 = = ( ) = ( ) = ( ) S BD PH h 1 (二)錐體是圓錐時 ,如右圖所示 ： r KT PK pf： 1 = 1 1 = 2 1 r KT PK 2 S r 2 PK 2 d 2 兩圓之面積比 1 = ( 1 ) = ( 2 1 ) = ( ) S r PK h