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。
证明:先证“”
若, 则,,时,恒有,
∵当时,必有和,
∴也必有和成立,
∴ 。
再证“”
若, 则,,
时,恒有; 时,恒有,
取,则当时,有,故。
综上可知,。
2、证明:。
证明:记,则,故有下界。
∵,
∴,时,,故当时,单调减少。
由单调有界原理知,必收敛,设,
∵,
∴,得,,故。
。
证明:,()
由于,不妨设,即,
此时,,
,要使,只要使,即,
故取,
∵,当时,恒有,
∴.
二、求下列极限
1.;
解:∵,而,,
∴。
2.;
解:。
3.;
解:
.
4、;
解:∵
,
而,
,
∴
∵,, ∴。
5、;
解:
.;
6、解:
,
∵,,∴。
7、
解:
。
8.
解:,
, ∴原式=1。
9.
[解答] 原式
三、解答题
1、设,(),
证明数列极限存在,并求此极限。
解:∵,∴,
由,
∵,
∴。
∵,∴有上界。
由单调有界原理知,必收敛,设,
对的两边取极限,得,
化简得,,故,即。
2.已知,求。
解:∵,
∴,∴,
∵,
∴。
3.设为连续函数,试确定a和b的值。
解:当时,;
当时,;
当时,,
当时,。
∴
∵在,,内为初等函数,
∴在,,内连续。
故只要适当选取,使在处同时连续即可,由连续的定义应有:
,
∵,, ∴。①
∵,,∴。②
由①、②解得,。
4、证明:。
证法1:∵
而,
∴。
证法2:
。
5、,是同阶无穷小, 。
解:,~
~。
∵,
∴,若是同阶无穷小,。
6.讨论函数 在 处的连续性.
解:当 时,
所以,若 时, 在 连续.若 时, 在 为第一类跳跃间断点. 当 时, 是 的第二类间断点.
7.证明方程,其中,,在和内至少各有一个实根。
证法1:令,则在和内均连续。
∵,,,,
∴必有,使得,,
由零点定理知,,使得。
同理,必有,使得,,
由零点定理知,,使得。
故方程在和内各有一个实根。
证法2:令
则与在和内同解。
∵是二次多项式,
∴上必连续,
∵,,
∴,,
,
由零点定理知,,使得;,使得。
因此在和内至少各有一个实根,又二次方程至多有两个实根,故在和内各有且仅有一个实根,从而,即在和内各有且仅有一个实根。
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