理论力学Ⅱ第2版 教学课件 作者 蔡泰信 和兴锁 等编著 17拉格朗日方程.pptVIP

考虑到 代入上式得 只有滚子的重力mg和弹性力 F 做功，故 代入式（1）得 （2） 17. 4 动力学综合应用举例 故有 为了求滚子A的质心C的加速度，可视式（3）中的 s 为变量，将式（3）对时间求导数，并考虑到 得 最后得滚子A的质心 C 的加速度为 （3） （4） 17. 4 动力学综合应用举例 解2：取单个物体为研究对象，应用动力学普遍定理求解 分别取滚子A、滑轮B、物块D为研究对象，其受力分析和运动分析如图所示，其中 对于滚子A：应用刚体平面运动微分方程，有 （5） （6） 17. 4 动力学综合应用举例 对于滑轮B：应用刚体定轴转动微分方程，有 其中 （7） （8） 应用质心运动定理，有 （9） （10） 17. 4 动力学综合应用举例 对于物块D：应用质心运动定理，有 （11） 其中 （12） 弹性力 （13） 可由上述九个方程（5）～（13）中，求得九个未知量。 其中，滚子A质心C的加速度与式（4）相同。 17. 4 动力学综合应用举例 解3：应用达朗贝尔原理和动静法求解 首先取滚子A为研究对象，滚子A做平面运动，根据达朗贝尔原理，虚加惯性力和惯性力偶 应用动静法可写出动态平衡方程 有 即 （14） 即 17. 4 动力学综合应用举例 同理，取滑轮B为研究对象，滑轮B作定轴转动，加上惯性力偶后，可写出动态平衡方程 即 即 （15） 17. 4 动力学综合应用举例 取物块D为研究对象，物块D作平动，在其质心上虚加惯性力 后，可写出动态平衡方程 即 联立求解式（14）～式（16），可得式（4）。 （16） 17. 4 动力学综合应用举例 解4：应用动力学普遍方程求解 取整个系统为研究对象。 由动力学普通方程得 考虑到 整理后得 因为是任意的，故由上式可得式（4）。 （17） 17. 4 动力学综合应用举例 解5：应用拉格朗日方程求解 取整个系统为研究对象，系统具有一个自由度，以滚子A的质心C沿斜面的位移s为广义坐标。根据拉格朗日方程，有 （18） 其中，系统的动能由式（2）可写为 故有 17. 4 动力学综合应用举例 对应于广义坐标s的广义力 将上述表达式代入式（18），得 故滚子A质心C的加速度 因为作用在系统上的主动力都是有势力，可应用保守系统的拉格朗日方程求解，有 （19） 17. 4 动力学综合应用举例 若选初瞬时的位置为重力势能和弹性势能的零位置，则系统的势能 系统的拉格朗日函数 求（偏）导数 将上述表达式代入式（20），可得式（19），进而得式（4）。 17. 4 动力学综合应用举例 讨 论 1. 由于物块 D 处于弹性力 F 作用，滚子A的质心C沿斜面下降到最大距离smax后开始沿斜面上升。 可见，这时aC的方向是沿斜面向上。 在式 中 令vC=0 ，可得最大距离 17. 4 动力学综合应用举例 2. 滚子A沿固定斜面无滑动地滚过时，接触处 P 有静滑动摩擦力Fs，但 （23） 且这摩擦力不做功，它的值可由式 讨 论 求得 17. 4 动力学综合应用举例 运动开始时，s=0, ，摩擦力Fs沿斜面向上。 在 时， ，摩擦力Fs沿斜面向下。 由此可知，本例中的滑动摩擦力Fs的大小和方向是随时间而不断变化。 时， ，摩擦力Fs=0。 当 讨 论 17. 4 动力学综合应用举例 17.3 拉格朗日方程应用举例 例题17-3 在水平面运动的行星齿轮机构如图所示。匀质杆 OA 质量是 m1 ，可绕铅垂轴 O 转动，杆端 A 借铰链装有一质量是 m2 ，半径是 r 的匀质小齿轮，此小齿轮沿半径是 R 的固定大齿轮滚动。当杆 OA 上作用着转矩 MO 时，求此杆的角加速度。 MO R O A x y C 17.3 拉格朗日方程应用举例 解： 此机构只有一个自由度。取杆 OA 的转角 ? 为广义坐标，点 A 的速度为 vA = ( R + r ) 。小齿轮在固定的大齿轮上的啮合点 C 是其速度瞬心，故小轮的角速度 系统的动能为 MO R O A x y C 17.3 拉格朗日方程应用举例 广义力为 得 从而解得杆 OA 的角速度 将上两式代入拉格朗日方程 MO R O A x y C 17.3 拉格朗日方程应用举例 例题17-4 如图所示的椭圆摆，由滑块 A，细杆 AB 和摆锤 B 构成。滑块 A具有质量 m1，可沿光滑水平面自由滑动。摆锤 B 可看成质点且具有质量 m2 ，由长l 的无重细杆铰接在滑快上。杆可在铅