离散信号处理——应用与实践 教学课件 作者 张延华 黎玉玲 编著 第5章 离散傅里叶变换及快速算法.pptVIP

第5章 离散傅立叶变换及快速算法 5.1 离散傅立叶级数 5.2 离散傅立叶变换 5.3 DFT的性质 5.4 关于DFT的几点认识 5.5 用DFT计算线性卷积 5.6 计算DFT的快速算法--FFT 5.7 DFT及FFT的应用 5.8 太阳黑子活动周期的分析 5.9 股票趋势分析 5.1 离散傅立叶级数 5.1.1 离散傅立叶级数的定义 上式将 设 注意仅当 序列的离散傅立叶变换（DFT）对:    4.12.2 噪声序列的滤波 若对 再令 ，则 （4-44） 是离散序列 的反折后的单边z变换。因此，序列 的双边z 变换是 的z变换加 的z变换（其中z用 代替） 再减去 4.12 z变换的应用 4.12.1 正弦输入的响应 如前所述，线性时不变系统的系统函数 往往可以表示成如下 形式的z 的有理函数形式： 现设 (4-45) 的全部极点均位于单位圆内，也就是说系统是稳定的。 令系统输入序列 为： 式中C和 均为实数。由表4-1知， 的z变换为： 如果初始条件为零，则系统输出 的z变换为： （4-46） 该响应的极点是 的极点加上 的根。显然，  可解出一对共轭复数根 现对 进行部分分式展开，得到： 式中 是z的多项式，其阶次低于N。c是待定系数， 是c的共 轭复数，根据公式(4-19)有： （4-47） （4-48） 因此，系统输出 的z变换 为： （4-49） 对上式取逆z变换： （4-50） 其中等式右端第一项 是 的逆z变换，因为系统已知是 稳定的， 的根全部位于单位圆内，故当 时， ，所以 就是在正弦序列 作用下的暂态响应。 等式右端第二项是由一对共轭复数极点 形成的一对共轭 复数项，它的逆z变换 可写成通式： （4-51） 式中系数和极点可分别写成极坐标（幅度和相角）的形式： 和 将上述关系式代入式（4-51），并利用欧拉公式得到： 因此，我们有： （4-52） 显然，当 时，响应 并不趋于零，所以 就是在正弦序列 作用下，系统的稳态响应。 设时间序列 ，其中 是 的平滑部分， 是 中的噪声或扰动成分。 对 滤波就是希望抑制 中 包含的噪声 ，并使 通过滤波器时失真和时延尽可能小。 根据前面章节的讨论，我们知道用因果低通滤波器滤除信号中 中的噪声 是一种解决方案。 指数加权移动平均（EWMA）滤波器。它的单位样值响应 已知为： 因为 为有限值，所以EWMA是一个FIR滤波器。 如果令 ，则可以将L点EWMA滤波器扩展成一个IIR 滤波器。 因此，IIR EWMA滤波器的单位样值响应 就为： 对上式求z变换，就可得到IIR EWMA滤波器的系统函数 （4-53） (4-54) 式中 由式(4-5)又知，单位圆上的 的z变换与其对应的DTFT （即系统的频率响应） 等价，故有： (4-55) 所以，通过计算单位圆上 的值（图4-4），就可以得到 的值。具体讲，只要使频率响应 在 时满足 ，在单位圆上取 并利用式(4-55)，就有： 或： 当 时，由(4-54)可得到IIR EWMA滤波器的递归方程如下： (4-56) 式(4-56)在金融领域又被称之为EMA(Exponential Moving Average)滤波器或指数移动平均线，一般用下面的标准形式给出：