高等数学2期末考试总复习.pptVIP

配合《高等数学（下）》使用 微分方程、级数、空间解析几何、多元微分学和多元积分学 2011级高数（下）复习重点 第7章 微分方程 1.熟练掌握一阶微分方程的解法 2.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式 3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程特解的结构 解： (1) 所以方程为全微分方程，于是有： 即 所以方程通解为： 2.已知连续函数 f (x) 满足 求 f (x) 解：对所给方程两边求导，得 为一阶线性方程，其通解为： 由所给方程可得 所以 【例3】求解 【解】特征方程 通解为： 【例4】求解 【解】特征方程 特征根为： （二重根），通解为 第8章 级数 20% 1.熟练掌握判别常见级数的敛散性 2.熟练掌握常见幂级数的收敛域及和函数的求法 3.准确理解狄里克雷定理的内涵 4.准确理解正项级数判别法的内涵 级数绝对收敛 级数条件收敛 1.判别级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？ 且 收敛，所以原级数绝对收敛 2.级数 （常数 ） (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与a有关 解：由 而 所以原级数绝对收敛 3.设级数 收敛，则必收敛的级数为 解：因为收敛的级数加括号后仍然收敛. 4.设有下列命题： (1) 若 收敛，则 收敛. (2) 若 收敛，则 收敛. (3) 若 ，则 发散. (4) 若 收敛，则 ， 都收敛. 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4) 解：(1)是错误的，如令 则 收敛，而 发散. (4)是错误的，如令 解： 5. 求级数 的和. 故部分和为 ex. 求级数 的和. 解：收敛半径R=3，且x= ? 3时 两边积分得 6. 求级数 的收敛域及和函数. 发散， 收敛域(?3 , 3]. ex. 求级数 的收敛域及和函数. 第9章 空间解析几何 15% 1. 二次曲面的特性及其作图： 2. 常见的直线和平面方程 特殊位置的平面方程：与坐标轴平行；与坐标面平行 特殊位置的直线方程：与坐标轴平行，与坐标面垂直 3. 求下列曲面在指定点的切平面和法线方程： 4. 求下列曲面与指定直线的位置关系： 与 轴 与 轴 第10章 多元微分学 30% 1. 多元函数重点概念之间个关系 2.全微分的计算； 3.会描绘多元复合函数符合关系图 4.一阶复合函数偏导数的计算 5.极值、最值和条件极值; 实际应用问题 函数连续 函数偏导存在 函数可微 函数偏导连续 ? ? ? P20 P25 1. 求下列极限： 2. 求偏导数： ，求 （2，1）的方向导数. 3. 求方向导数： 在(1,-1)处指向 4. 求下列函数的一阶偏导数： 5. 求 ，在(1,1)处的梯度gradient。 在（1，1，1）处的 求 散度divergence 。 6. 求 在限制条件 时的最大值 和最小值。 第11章 重积分 20% 1.熟练掌握二重积分的极坐标 2.会改变二重积分的积分次序 3.熟练掌握用对称性计算重积分 4.熟练掌握三重积分柱坐标 1.设f(x)在[0,4]上连续，且D：x2+y2≤4 , 则 在极坐标系下先对r积分的二次积分为__________ . 2.若区域D为(x－1)2+y2≤1, 则二重积分 的值为（ ） 3. 计算 解：积分区域关于 x , y 轴及原点对称，所以 解 知交线为 *6. 计算二重积分 其中 (05数二、三) 解：如图,将D分成D1与D2两部分. *7. 求 其中D是由圆 所围成的平面区域(如图). 解:令 由对称性 注:对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为 两个或三个简单区域来简化计算. (04数三) *8. 设f(x)为连续函数， (A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. (04数一) 解：交换积分次序，得 从而有 故应选(B) *9. 计算二重积分 解： 第12章 曲线积分与曲面积分 15% 1.熟练掌握格林公式及其常规题型 2.熟练掌握高斯公式及其常规题型 1. 计算 其中ABCD为： 取逆时针方向。 解： 注:(1)第一步利用了边界方程化简被积函数； (2)第二步用格林公式。 x o y 1 1