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第一课时 空间向量及其运算 教学目标 1、掌握共线向量（或平行向量）的概念、向量与平面平行（共面）的意义、表示方法。 2、理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3、会应用向量共线定理与共面定理处理三点共线与四点共面的一些简单问题； 4、会应用向量的方法证明线线平行、线面平行，面面平行等问题。 教学重点 教学难点 教学过程 引入 1、空间向量的概念 2、空间向量的运算 3、平行六面体的概念 一、讲解新课 1．共线向量（平行向量）的概念 示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b,记作a∥b 2．共线向量定理： 对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb。 1）先证明存在唯一的实数，使 ，所以两个向量在同一平面上，由平面向量共线的充要条件知，存在唯一的实数，使。 （2）证明存在唯一的实数，使 因为在空间任意两个向量都是共面的，所以向量在同一个平面内，由平面向量数乘的意义即知 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 ① 其中向量叫做直线l的方向向量。 证明： 对于上任意一点P，存在唯一的实数t，满足： 又对空间任意一点O，有 ……………① 若在上取，则有 又 …………② 当时，点P是线段AB的中点，则 ③ ①或②式都叫做空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式。它们与平面直线的向量参数方程和线段中点公式相同。 注：（1）对l上任一点P，满足①式的实数t是唯一的；反过来，对一个实数t，①式在l上确定的P是唯一的，即直线l上的点和实数t是一一对应的。 （2）依据《曲线与方程》的知识对于空间直线的向量参数方程式①或②式，它们确实是空间符合已知条件的直线的方程。 （3）推论的用途：解决三点共线问题的表示或判定。 如图：在正方体ABCD-ABCD中，G为△BCD的重心. 求证：A，G，C三点共线. 证明1： 所以，由共线向量的推论可知，A，G，C三点共线. 证明2： 所以A，G，C三点共线. （二）共面向量 1、共面向量的概念：已知平面α与向量，作，如果直线OA平行于平面α或在α内，那么我们说向量平行于平面α，记作∥α。 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。 说明：⑴空间任意两个向量总是共面的； ⑵空间任意三个向量不一定共面； ⑶空间四边形ABCD中、、不共面。 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式 (其中x+y+z=1)的四点P、A、B、C是否共面。 解：原式可变形为 ∴点P与A、B、C共面。 例3已知非零向量不共线，如果， 求证：A、B、C、D共面。 证明：设 则 不共线，些 上述方程有无数多组解，而就是其中一解， 于是可知 故三向量共面，所以A、B、C、D共面。 注：共面向量定理的推论：如果存在不为零的实数x，y，z，使得， 则向量共面。 课堂练习 如果三个不共面的向量满足等式：，那么。 证明：设中至少有一个不为零，不妨设， 则由已知可得：， 由共面向量定理可得三向量共面，这与已知三向量不共面矛盾， 所以假设不成立，即 小结 1、两个向量共线的充要条件是存在实数λ，使得。 2、三个点A，B，C共线的充要条件是对空间任一点O，有 （其中）。 3、三个向量共面的充要条件是存在实数对x，y，使得。 4、四个点A，B，C，D共面的充要条件是则对空间任一点O，有 （其中）。 课后作业：作业1.2.3 第二课时 空间向量及其运算（二） 教学目标 1、掌握共线向量（或平行向量）的概念、向量与平面平行（共面）的意义、表示方法。 2、理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3、会应用向量共线定理与共面定理处理三点共线与四点共面的一些简单问题； 4、会应用向量的方法证明线线平行、线面平行，面面平行等问题。 教学过程 复习：共线向量定义性质 新课讲授 共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是，存在实数对x、y，使=x+y 证明：如果向量与向量、共面， 根据平面向量的基本定理，一定存在实数对x、y，使=x+y； 反之，如果存在实数对x、y，使=x+y， 对空间任一点M作=，=，=x， 过点作=y, 分别与共线， 都在确定的平面内。 又是以为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在确定的平面内 在确定的平面内，即与共面 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使=x+y；或对空间任一点O，有=+x+y…………① 对于空间任意一点O，因，代入=x+y整理即得①式。 又因为，