天津大学化工数学课件--第四章常微分方程数值解.pptVIP

* * 4.1 引言 第四章 常微分方程的数值解 包含一个未知函数及其导数关系的方程称为微分方程，其中只包含一个自变量的导数的方程叫常微分方程。 定解问题应该包括微分方程和定解条件，根据定解条件的不同可分为初值问题和边值问题。 实际过程中微分方程问题应该是非通解而是有确定解的问题，即定解问题。 常微分方程的阶数：方程中出现的最高阶导数的阶数 问题1 在间歇蒸馏釜中，最初含有25mol的正辛烷和75mol的正庚烷，如果在1atm下进行操作，当最后釜中剩有溶液的总摩尔数为10mol时，试求正庚烷的摩尔分率。 正辛烷和正庚烷的混合物 某时正庚烷的摩尔分率?? 4.1.1 常微分方程初值问题描述 总的物料平衡 正庚烷的物料平衡 t 0 操作方式决定 S0, x0 y t） D t S t , x t 求S＝Sf时的xf 常微分方程初值问题 给出自变量在一端满足的条件 初始条件： 问题2 在一个与外界没有质量交换的封闭系统中，三个组分A,B,C浓度分别为C1、C2、C3。当系统在特定频率光照下发生反应，求每种物质浓度随时间变化规律。 C1 t C2 t C3 t A B C 初始条件 常微分方程组初值问题 问题3 一均匀细杆稳态导热问题。设其杆的一端恒温为T1，另一端绝热，试确定杆温度沿杆的分布情况。 T1 绝热 x 0 x l 4.1.2 常微分方程边值问题描述 边界条件 给定自变量在两端满足的条件 边界条件： 二阶常微分方程边值问题 对于一阶初值问题： 首先对自变量离散化处理： 4.2 初值问题的解法 把区间 n等分，确定节点，即 其中 数值解就是求取在节点处的函数近似值， 设y（xi）≈ui ，即求 1、显式尤拉法 （1）公式 －又称折线法 显式尤拉法的几何意义 y y x x0 x1 x2 xn 4.2.1 尤拉法 分析解为 例4-1 解析解与数值解比较 数值解为 （2）误差分析 ①局部截断误差 ②总误差 可以推出： 当一个方法的局部误差为 显式尤拉法的精度为P 1 时，则称其具有P阶精度， 方法的精度定义 （3）收敛性和稳定性 对于一个给定的微分方程，若没有舍入误差，当步长趋于零时，方程的数值解逼近于精确解时，则称所采用的数值方法是收敛的。虽然数值方法可能是收敛的，但由于在实际计算中都不可避免地存在舍入误差，所以，当h趋于零时，并不意味着数值解一定趋于精确解。 一般以下列初值问题讨论方法的稳定性 绝对稳定区与λ和h的取值有关，如果λ是实数， 则显示尤拉法的绝对稳定区为 但当 解会产生摆动 就是当步长确定之后，随着步数的增加，计算中累积的误差会不会超出所允许的范围。 绝对稳定性：随着步数的增加总误差不会步步增加 稳定性 ： 见例4－3 2、隐式尤拉法 3、梯形法则 隐式尤拉法的精度P 1，但当λ 0时可以无条件稳定 梯形法则的精度P 2 i 0,1,2,…n-1 4、改进尤拉法 改进尤拉法的精度P 2 如果设 改进尤拉法可以写为： 4.2.2 龙格库塔法 经典的四阶龙格—库塔公式： 书 4-55 式有错 例2：用四阶龙格库塔法解例4-1 t 0 四阶龙格-库塔法 h 0.000625 0.座机电话号码 h 0.01 0.座机电话号码 分析解为 显示尤拉法 例4-2 在一个与外界没有质量交换的封闭系统中，三个组分A,B,C浓度分别为C1、C2、C3。当系统在特定频率光照下发生反应，求每种物质浓度随时间变化规律。 C1 t C2 t C3 t A B C 4.2.3 常微分方程组初值问题 一阶常微分方程组初值问题： ………………… 一、一阶常微分方程组初值问题 一阶常微分方程组初值问题： 回顾用四阶龙格－库塔法解常微分方程初值问题： ………………… 常微分方程组初值问题求解公式： 取h＝0.05，求y1 0.1 ，由y2 0.1 的值，计算过程保留4位小数。 解例4-2： 设 Cji≈uji ， u10＝C0， u20＝u30＝0 例4－3 用四阶龙格—库塔法解 常微分方程组初值问题 取h＝0.05，求y1 0.1 ，由y2 0.1 的值，计算过程保留4位小数。 x y1 y2 ---------------------------------------- 0.0500 1.1038 2.0526 0.1000 1.2154 2.1108