浅谈微积分基本定理.pdfVIP

2006年12月 石家庄职业技术学院学报 Dec．2006 第18卷第6期 Journalof Institute V01．18No．6 Sh订iazhuangVocational’rechnology 文章编号：1009—4873(2006)06．0023．03 浅谈微积分基本定理 刘青桂1， 张俊显2 (1．石家庄职业技术学院基础教学部，河北石家庄050081； 2．石家庄学院数学系，河北石家庄 050035) 摘 要：在一元微积分中，牛顿一菜布尼兹公式是最重要的公式，它建立了微分学与积分学之闻的联系．在多 元微积分中，也有类似的公式．通过研究场论中三个基本公式的关系，可统一处理多元函数中的相关内容． 关键词：积分；微分；基本定理 中圈分类号：0172 文献标识码：A 0 引言 向，即在曲面上任意一点，做曲面的切平面，并画出 凡是学过微积分的人，都熟知一元微积分中的 直角坐标系，以右手从z轴到y轴握住，大拇指所指 牛顿一莱布尼兹公式以及多元微积分中的格林公 的方向就是法线的方向，这就是通常所说的右手法 式、斯托克斯公式、高斯公式【1qJ．虽然从表面上来 则；对于三维空间，同样也用右手法则来规定它的正 看，这几个公式形式不同，但是，它们之间有着必然 向．当然，著名的莫比乌斯带是不定向曲面． 的联系． 2．微分形式 在一元微积分中，牛顿一莱布尼兹公式是最重 通过空间的定向性，引人外乘积【3]的概念，使 要的公式，它建立了微分学与积分学之间的联系，反 得微分乘积满足下述两条规则： 映了一元函数的积分与微分之间的矛盾．其实，积分 和微分也就是整体和局部的关系；而在二维空间，区 域是由曲线组成，在三维空间，曲面是由曲线组成， 立体是由曲面组成，它们也是整体与局部的关系；格 的规律也是向量积所满足的规律． 林公式体现的是二重积分与曲线积分之间的联系； 若P，Q为z，y的函数，则 而斯托克斯公式、高斯公式分别体现了曲面积分与 ∞o=厂(z，y)，∞l=Pdz+Qdy， 曲线积分、三重积分与曲面积分之间的联系．这些公 式揭示了函数在区域内部的积分与边界上的积分间 ∞2=Pdz^dy． 的关系，建立了高维空间中微分学与积分学之间的 ct，o，∞1，∞2分别称为二维空间的0一微分形式、 联系，所以称它们是微积分学的最基本的定理． 】一微分形式和2一微分形式．[3】 1 空间的定向 若P，Q，R为z，y，z的函数，则 线积分、面积分的积分区域都是有方向的(本文 ∞o=，(z，y，z)， 中的线积分、面积分都是指第二型曲线积分、第二型 ∞l=Pdz+Qdy+Rdz， 曲面积分)，一重积分、二重积分可以视为曲线积分、 曲面积分的特殊情况，因而它们的积分区域也是有 Ⅲ3=Pdz^dy^dz． 方向的．同样，对三重积分的区域也可以定向． 对于曲线，可以通过规定起始点来确定它的方 形式、1一微分形式、2一微分形式、3一微分形式．它 向；对于曲面，用其上任一点的法方向来表示它的正 们的外微分[4~5】分别为： 收稿日期：2006一07—11 作者简介：刘青桂(1