国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第43届）.docVIP

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2017-08-21 发布于河南
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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第43届） 1. 设n是给定的正整数，T是一个集合，其元素是平面上满足x，y是非负整数且x+yn的点(x，y)．T中的点均被染上红色或蓝色，满足：如果(x，y)是红色，则所有满足x≤x且y≤y的点(x，y)也都染成红色．如果n个蓝点的横坐标各不相同，则称由这n个蓝点组成的集合为一个X-集；如果n个蓝点的纵坐标各不相同，则称这n个蓝点所组成的集合为Y-集．求证：X-集的个数和Y-集的个数相同． 2. BC为圆O的直径，A为⊙O上的一点，0o∠AOB 120o， D是弧AB（不含C的弧）的中点，过O平行于DA的直线交AC 于I，OA的垂直平分线交⊙O于E、F，求证：I是△CEF的内心． 3. 找出所有的正整数对m，n≥3，是的存在无穷多个正整数a，使(am +a-1)/(an +a2-1)为整数． 4. 设n为大于1的整数，全部正因数为d1，d2，...，dk，其中1=d1 d2 ... dk=n，记D=d1d2+d2d3+...+dk-1dk． a. 求证：D n2； b. 确定所有的n，使得D能整除n2． 5. 找出所有从实数集R到R的函数f，使得对所有x，y，z∈R，有 (f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)． 6. 设Γ1，Γ2，...，Γn是平面上半径为1的圆，其中n≥3，记他们的圆心分别为O1，O2，...，On．假设任意一条直线都至多和两个圆相交或相切，求证： ∑ij 1/OiOj ≤ (n-1)π/4 ．彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第 1 页共 1 页搜资源上网站