国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第33届）.docVIP

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2017-08-21 发布于河南
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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第33届）.doc

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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第33届） 1. 试找出所有的整数a，b，c满足1abc并且(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的因子． 2. 找出所有定义在实数上并且取值也是实数的函数f使得对所有x，y都有 f(x2+f(y))=y+f(x)2． 3. 空间中有9个点，无4点共面，每两点之间连接一个被染上红色或蓝色或者不染色的线段，试找出最小的n使得，只要恰好有n条线段被染色，这些染色的线段一定包含一个同色三角形（即三角形的三边被染上相同的颜色）． 4. L是圆Γ的一条切线，M是L上的一点，试找出所有这样的点P的轨迹：存在L上的关于M对称的两点Q，R，△PQR的内切圆是Γ． 5. 设S是三维空间中的一个有限点集，集合Sx，Sy，Sz分别是S在平面yz，zx，xy上的投影，求证：|S|2=|Sx|·|Sy|·|Sz|．其中|A|表示集合A的元素个数．? [注：一个点到一个平面上正交投影指的是该点到平面作垂线的垂足．] 6. 对正整数n，S(n)是满足如下条件最大的整数：对每个正整数k= S(n)，n2都可写成k个完全平方数的和． a. 求证对每个n=4有S(n)=n2-14； b. 试找出一个整数n使得S(n)=n2-14； c. 试证明有无穷多个整数n使得S(n)=n2-14．　彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第 1 页共 1 页搜资源上网站