国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第29届）.docVIP

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2017-08-21 发布于河南
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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第29届） 1.?考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R r的圆．P点是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，BP交大圆于C，过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P），试确定AB2 + BC2 + CA2的所有可能值；试确定BC中点的轨迹． 2.?n是正整数， A1， A2， ... ， A2n+1 都是集合B的子集，假设每个Ai 都恰有2n个元素；任何两个不同的 Ai恰有一个公共元素； B中的每个元素至少属于两个 Ai．试问对于什么样的n值有办法将B中的元素都标上0或1使得每个 Ai 都恰好包含n个标0的元素． 3.?函数 f 定义在正整数集上：f(1) = 1; f(3) = 3; 且对每个正整数 n 有 f(2n) = f(n)， f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n)．试确定小于或等于1988并满足 f(n) = n 的正整数 n 的个数． 4.?试证明满足 1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70)5/4. 的所有实数 x 的集合是一些互不相交的区间的并集，并且这些区间的长度之和是 1988． 5.? 三角形△ABC，角∠A是直角，D是BC边上的高的垂足．三角形△ABD、三角形△ACD 的内心的连线分别交边AB， AC于K，L．求证：三角形ABC的面积是三角形AKL的面积的至少两倍． 6.?a，b都是正整数，且 ab+1整除 a2 + b2. 求证(a2 + b2)/(ab + 1)是完全平方数．彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第 1 页共 1 页搜资源上网站