国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第18届）.docVIP

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2017-08-21 发布于河南
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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第18届） 1.? 平面上一凸四边形的面积是32，两对边与一对角线之和为16，求另外一个对角线的所有可能的长度． 2.?令P1(x) = x2 - 2， Pi+1 = P1(Pi(x))， i = 1， 2， 3， ...，求证对任何一个正整数n，方程式Pn(x) = x 的所有根都是互不相同的实数． 3.?一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40％，求所有这种箱子的可能尺寸（长、宽、高）． 4.? 试将1976分解成一些正整数之和，求这些正整数乘积的最大值，并加以证明． 5.? n是一个正整数，m = 2n， aij = 0、1或-1 （1 = i = n， 1 = j = m）．还有m个未知数x1， x2， ... ， xm满足下面n个方程： ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm = 0，其中i = 1， 2， ... ， n．求证这n个方程有一组不全为0的整数解（x1， x2， ... ， xm）使得|xi|= m． 6.? 一个序列u0， u1， u2， ... 定义为： u0= 2， u1 = 5/2， un+1 = un(un-12 - 2) - u1，n = 1， 2， ... 求证 [un] = 2(2n - (-1)n)/3，其中[x]表示不大于x的最大整数．彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第 1 页共 1 页搜资源上网站