(二)圆锥曲线中的存在性问题.docVIP

热点二 圆锥曲线中的存在性问题 (1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题． (2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由． [例1]．　已知抛物线P：y2＝4x的焦点为F，经过点H(4,0)作直线与抛物线P相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)求y1y2的值； (2)是否存在常数a，当点M在抛物线P上运动时，直线x＝a都与以MF为直径的圆相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由． 若(2)中相切改为相交呢？ 解：假设直线x＝a与以MF为直径的圆相交，则有＜，即0＜a＜x＋1对任意x≥0恒成立．因此，0＜a＜1.　 ——————————规律·总结—————————————————————— 存在性问题的解题步骤 [例2]．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为. (1)求抛物线C的方程； (2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． [例3]．设点P是曲线C：x2＝2py(p0)上的动点，点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为. (1)求曲线C的方程； (2)若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． [例4]．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点．试问x轴上是否存在定点Q，使得·＝－恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 练习： 1.已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点. (1) 求椭圆的方程； (2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由. 2.已知圆C与两圆，外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点的距离的最小值为，点与点的距离为. (Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程； （Ⅱ）求满足条件的点的轨迹Q的方程； （Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于。若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由. 3.设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,. （1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系； （2）求证：直线恒过定点； （3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由. 1