Strongart数学笔记：高观点下的实数系基本定理.pdfVIP

高观点下的实数系基本定理 相信学过数学分析的朋友都有这样的经验，讲到实数系基本定理 的时候，只看到若干定理相互推导，好像谁都可以来充当公理，结果 就被搞得一头雾水，根本不知道它想要干什么。其实，实数系并不是 讨论这些问题的理想舞台，这些内容得到点集拓扑与泛函分析中才能 够讲清楚，现在勉强放到实数当中，只会导致很多无谓的技术负担。 实际上，实数系基本定理主要就是讨论它的完备性与局部紧致 性，与完备性有关的定理有确界原理、单调有界定理和Cauchy收敛 原理，涉及紧致性的定理则有区间套定理、致密性定理与有限覆盖定 理。 关于实数的这些基本定理，总结起来就是一句话，实数系在分析 “ ” 上是完备的，直观来看就是没有 洞 的。有人也许会说，中学时我就 “ ” 知道实数就是直线，直线当然是没有 洞 的，还用得着这么啰嗦吗？ “ ” 实际上，这里有一个逻辑循环，只有先肯定实数没有 洞 ，才能够把 它等同于直线，初等数学就这样默认了直观的前提，但是在分析学中 “ ” 就得往前研究，讨论一下这里的没有 洞 到底是怎么回事。 对于完备性的刻画，通常是以Cauchy收敛原理作为定义的模板。 它的意思就是说如果数列本身已经满足了必须收敛的良好条件 （Cauchy列），假若它竟然还不收敛，那唯一的可能性就是相应的背 “ ” “ ” 景是有 洞 ，最后的极限不幸掉到了 洞 里，因此我们看不见了。而 Cauchy收敛原理就是说，在实数中不会出现这样奇怪的情况。假若 {0} R*=R\{0} {1/n} 我们故意在实数上挖一个洞 ，那么在 考虑的话，数列 Cauchy “ ” 尽管也是 列，但它却是不收敛的（尽管我们可以从 洞 重新 0 R* 挖出极限点 ，但是却发现它并不在我们所设定的舞台 上）。 对于这个问题，确界原理是从整体上进行考虑的，不知不觉就把 “ ” “ ” 洞 排挤到了边缘处，保证不能让最后的上确界（或下确界）掉进 洞 里。而单调有界定理则是从局部考虑，先在边缘处把一头堵住，然后 “ ” R* 在不断逼近的过程中保证数列最后无 洞 可逃。比如在上面的 中， 0,1 {1/n} 非空集（ ）的下确界就不幸掉进洞里了，而数列 尽管递减有 Q 下界，但是其极限却也是逃到了洞里。请读者自己考虑有理数 的 “ ” R* 情形，它上面的 洞 可以 多得多啊！ 下面我们来看紧致性，它是比完备性更强的概念，不仅要求没有 洞，而且还需要一定的有限性。事实上，在泛函分析中有这样一个结 论：度量空间的紧致性等价于完备性与完全有界性，而在有限维空间 中完全有界性就是有界性（反之考虑可分Hilbert空间的标准正交基）， 因此实数上的完备性其实就是局部的紧致性。而实数系伤问题往往带