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复习拉普拉斯定理.doc
复习拉普拉斯变换的有关内容
1 复数有关概念
（1）复数、复函数
复数
复函数
例：
（2）复函数模、相角
（3）复数的共轭
（4）解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。
2 拉氏变换定义：
3 几种常见函数的拉氏变换
⑴ 单位阶跃：
指数函数：
正弦函数： （欧拉公式）
4 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质：
（2）微分定理：
零初始条件下有：
例：求
解：
（3）积分定理： （证略）
零初始条件下有：
进一步有：
[]
例：求L[t]=?
解：
例：求
解：
（4）时滞定理
实位移定理：
例：
解：
（5）复位移定理： （证略）
例：求
例：
例：
（6）初值定理、终值定理（极限确实存在时）
证明：由微分定理
取极限：
∴有：证毕
例： 求
例：
拉氏变换练习：
已知f(t),求F(s)=?
二．已知F(s),求f(t)=?
5. 拉氏反变换
(1) 反变换公式：
(2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)
微分方程一般形式：
◆ 不失一般性，假设已知F(s),求f(t),设：
(I)
其中分母多项式可以分解因式为：
(II)
的根(特征根)，分两种情形讨论：
⑴：无重根时：(依代数定理可以把表示为：)
即：若可以定出来，则可得解：而计算公式：
(Ⅲ)
(Ⅲ′)
● 例1： 求
解：
● 例2： ，求
解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)
● 例3：
解法一：
（）
解法二：
⑵：有重根时：
设为m阶重根，为单根 .则可表示为：
其中单根的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算.
重根项系数的计算公式：
●例4 求
解：
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