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第6章 向量空间 * * 6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 1概括说明 向量空间的雏型是解析几何中的平面V2与空间 V3， 它是在考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中 的向量，代数学中的 n维向量、矩阵、多项式，分 析学中的函数等等)的本质属性后抽象出来的．向量 空间是最基本的数学概念之一，它的理论与方法已 经渗透到自然科学、工程技术的各个领域． 本章中，先以公理的形式给出向量空间的概念，而后 由此概念出发进行逻辑推理，建立向量空间的一整套 理论．这种公理化方法的意义在于，它不涉及讨论对 象的具体内容及性质，得到的结论具有一般性，它是 近代数学的重要标志与基本手段，对后面的学习有指 导意义． 本章的内容分为三个部分： 一、 向量空间的定义、性质 向量空间的定义可概括为一个非空集合，一个数域， 两种运算，八条公理，是本章的出发点与基础，向 量空间也称为线性空间，其元素称为向量． 二、基、维数与坐标、同构、基变换与坐标变换 对于向量空间，主要研究有限维的情况，从而基起 着根本的作用．由基引出维数、向量坐标的概念， 自然地建立起n维线性空间V与 的同构，进而建立 向量空间同构的一般概念．基之间的关系由过渡矩 阵刻划,同时，基变换引起坐标变换. 三、向量子空间及其交、和、直和 向量子空间是一个重要的研究对象,主要研究作成子 空间的条件,子空间的交、和、直和.直和在以后各章 中将经常用到． 2 基本方法重点难点 本章的重点是：向量空间的定义,基与基变换,子空间 的和与直和.线性空间的定义由公理的形式给出,它是 本章讨论问题的基础与出发点.线性空间的性质的推 导,其它一些概念的建立,都直接或间接地依赖于线性 空间的定义.因此,定义成为本章的一个重点. 向量空间判定方法,确定基与维数的方法,向量坐标求法,过渡矩阵求法,坐标变换法,子空间判定方法,子空间交与和的求法,子空间直和判定方法． 本章的基本方法: 在有限维向量空间的理论中，基占有中心地位．若 有限维向量空间V不是零空间，则V含有无限多个向 量，取定V的一组基后，V中任一向量都可以由这有 限个基向量线性表出、从而实现了从无限到有限的 转化. 维数就是一组基中所含向量的个数，向量的 坐标是对某一组确定的基而言的．数域F上的n维线 性空间V到 的同构映射是在取定基的情况下建立的．基也是线性子空间的一个研究内容．总之，基 作为一个重要概念，既贯穿于线性空间理论的始终，又是处理问题的一个基本工具．同时，基的概念既 是向量组极大无关组概念的深化，又是以后几章中 建立线性变换与矩阵的一一对应的桥梁. 另外，基变换是一种重要的方法，过渡矩阵从量的方面刻划了基变换，基变换引起坐标变换，以后几章中常常用到基变换．因此，基与基变换成为本章的一个重点． 向量子空间的和，是本章的一个重要内容，占有较 多的篇幅，其中直和的概念更为重要．将向量空间 分解为其子空间的直和，是一种重要的研究方法， 在以后的讨论中还要多次用到．另外，和与直和的 思考方法，是代数学中的重要方法，其实质就是由 局部来研究整体，在代数学的其它分支中也经常用 到．因此，子空间的和与直和成为本章的一个重点． 本章的难点是：线性空间的同构，维数公式，子空 间的直和．同构映射的定义中首先用到了映射的概 念，而映射概念本身是较难理解的，其次，不但要 求映射是双射，而且还要求保持线性运算，这样将 映射与运算联系起来，是较为复杂的．另外，具体 建立两个给定线性空间之间的一个同构映射是较为 困难的工作，尤其对于无限维线性空间更是如此， 没有一般的方法，而仅仅依赖于灵活性与技巧性． 因此，线性空间的同构成为本章的一个难点. 解决 困难的方法是：1)分析同构映射的定义，熟悉其各 条要求；2)通过证明数域F上的n维线性空间V与 同构，紧扣同构映射的各条要求，进一步加深理解， 3)研究一些具体例子，总结证明同构的方法与技巧． 维数公式，不容易证明，更不容易得到，并且，证 明的过程也较长．因此，维数公式成为本章的一个 难点．解决困难的方法是：1)反复推敲证明过程， 真正弄懂，归纳出主要思路，2)找两个具体的子空 间，算出维数，验证维数公式，从而，增加感性认 识，并有助于牢记公式，3)分析维数公式的推广过 程，并结合两个子空间的情况去思考，两个子空间 交的关键是从它们交的基出发． 子空间的直和，是在和的基础上附加条件得出的，不 容易理解，而且相互等价的条件很多，比较复杂. 因 此，子空间的直和成为本章的一个难点．解决困难