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二次函数的知识点.doc
二次函数的知识点
1,二次函数的特殊形式:
(1),y= ax2(a≠0),顶点是原点(0,0),对称轴是y轴;
(2),y=ax2 +c(a≠0),顶点是(0,k),在y轴上,对称轴是y轴;
(3),y=a(x-h)2(a≠0),顶点是(h,0),在x轴上,对称轴是直线x=h。
2、二次函数的解析式:
(1)一般式: y=ax2+bx+c(a≠0),
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),此时二次函数的顶点坐标为(h,k)
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标,此时二次函数的对称轴为直线x=;
3、二次函数的图象与性质:
(1),开口方向:当a0时,函数开口向上;当a0时,函数开口向下;
(2),对称轴:直线x=-b/2a;
(3),顶点坐标:(,);
(4),增减性:当a0时,在对称轴左侧(x﹤),y随着x的增大而减少;在对称轴右侧(x﹥),y随着x的增大而增大;当a0时,在对称轴左侧(x﹤),y随着x的增大而增大;在对称轴右侧(x﹥),y随着x的增大而减少;
(5),最大或最小值:当a0时,函数有最小值,并且当x=,y最小值=;当a0时,函数有最大值,并且当x=,y最大值=;
(6),与X轴的交点个数:当Δ=b2-4ac0时,函数与X轴有两个不同的交点;Δ=b2-4ac 0时,函数与X轴没有交点;Δ=b2-4ac =0时;函数与X轴只有一个交点;
1:当x<x1或x>x2时,y > 0;
当x1<x<x2时,y<0;
如图2:当x1<x<x2时,y>0;
当x<x1或x>x2时,y < 0;
(8),二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标为A(x1,0),B(x2,0) ,则二次函数与X轴的交点之间的距离AB==
(9),二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 中a、b、c的符号判别:(1)a的符号判别由开口方向确定:当开口向上时,a>0;当开口向下时,a<0;(2)c的符号判别由与Y轴的交点来确定:若交点在X轴的上方,则c>0;若交点在X轴的下方,则C<0;(3)b的符号由对称轴来确定:对称轴在Y轴的左侧,则a、b同号;若对称轴在Y 轴的右侧,则a、b异号;
(10),①二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上,则Δ=b2-4ac=0;
②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称,则b=0;
③二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,则c=0;与y轴的交点坐标为(0,c)。
(11),平移原则:左加右减,上加下减。在y=a(x-h)2+k(a≠0)中,左右平移,与h有关,上下平移,与k有关。
4、二次函数的解析式的求法:
已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交Y轴于点(0,2),且过点(-1,0)求这个二次函数的解析式;
已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式;
已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式;
已知抛物线与X轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点(2,8),求二次函数的解析式;
已知抛物线通过三点(1,0),(0,-2),(2,3)求此抛物线的解析式;
抛物线的顶点坐标是(6,-12),且与X轴的一个交点的横坐标是8,求此抛物线的解析式;
抛物线经过点(4,-3),且当x=3时,y最大值=4,求此抛物线的解析式;
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