2012年卓越联盟自主招生数学试题.pdfVIP

文 武 光 华 卓越人才培养合作高校 2012 年自主选拔学业能力测试 数 学 解答：文武光华数学工作室 田开斌 本卷共 100分，考试用时 90 分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定 位置粘贴考试用条形码 2.黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。答在卷上的无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （1）若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭 圆的离心率为 ____ 。 √ 解答：根据条件知a = √3b，从而c = √2b ，于是离心率e = = 。 （2）函数f(θ) = （θ ∈ R ）的值域为 。 解答：令 = t ，则sin θ − t · cos θ = 2t ⇒ √1 + t ≤ |2t | ⇒ t ≥ ⇒ − √ ≤ t ≤ √ ， √ √ ( ) 所以f θ 的值域为− ， 。 ( )log ( )log （3）设0＜a＜1，0＜θ＜ ，x = sin θ ，y = cos θ ，则 x、y 的大小 关系为 。 0＜sin θ ＜cos θ ＜1 ( ) 解答：根据条件知0＜sin θ ＜tan θ ＜1。因为0＜a＜1，所以f x = log x 为递减函数， ( )log ( )log ( )log 所以log sin θ ＞log tan θ ＞0 。于是x = sin θ ＜ sin θ ＜ cos θ = y 。 ⃑ ⃑ （4）已知△ABC 中，∠A = 90° ，BC = 4 ，点 A 为线段 EF 的中点，EF = 2，若EF与BC ⃑ ⃑ 的夹角为 60°，则BE · CF 。 ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ 解答：根据条件知：BE · CF = BA − EA · CA − FA = BA · CA − EA · CA − BA · FA + ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ EA · FA = 0 − EA · CA + BA · E