线性代数习题四A答案详解.docVIP

习题四 （A类） 1. 用消元法解下列方程组. (1) (2) 【解】(1) 得 所以 (2) ① ② ③ 解②?①×2得 x2?2x3=0 ③?① 得 2x3=4 得同解方程组 ④ ⑤ ⑥ 由⑥得 x3=2, 由⑤得 x2=2x3=4, 由④得 x1=2?2x3 ?2x2 = ?10, 得 (x1,x2,x3)T=(?10,4,2)T. 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系. (1) (2) (3) (4) 【解】(1) 得同解方程组 得基础解系为 . (2) 系数矩阵为 ∴ 其基础解系含有个解向量. 基础解系为 (3) 得同解方程组 取得基础解系为 (?2，0，1，0，0)T,(?1，?1，0，1，0). (4) 方程的系数矩阵为 ∴ 基础解系所含解向量为n?R(A)=5?2=3个 取为自由未知量 得基础解系 3. 解下列非齐次线性方程组. (1) (2) (3) (4) 【解】 （1） 方程组的增广矩阵为 得同解方程组 (2) 方程组的增广矩阵为 得同解方程组 即 令得非齐次线性方程组的特解 xT=(0，1，0，0)T. 又分别取 得其导出组的基础解系为 ∴ 方程组的解为 (3) ∴ 方程组无解. (4) 方程组的增广矩阵为 分别令 得其导出组的解为 令, 得非齐次线性方程组的特解为：xT=(?16,23,0,0,0)T, ∴ 方程组的解为 其中为任意常数. 4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示. 车间 消耗系数 车间 1 2 3 出厂产量 （万元） 总产量 （万元） 1 0.1 0.2 0.45 22 x1 2 0.2 0.2 0.3 0 x2 3 0.5 0 0.12 55.6 x3 表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量. 解：根据表中数据列方程组有 即 解之 5. 取何值时，方程组 (1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解. 【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为 |A|=. (1) 当≠1且≠?2时，|A|≠0，R(A)=R(B)=3. ∴ 方程组有惟一解 （2） 当=?2时， R(A)≠R(B),∴ 方程组无解. (3) 当=1时 R(A)=R(B)3,方程组有无穷解. 得同解方程组 ∴ 得通解为 6. 齐次方程组 当取何值时，才可能有非零解?并求解. 【解】方程组的系数矩阵为 |A|= 当|A|=0即=4或=?1时，方程组有非零解. (i) 当=4时, 得同解方程组 (ii) 当=?1时, 得 ∴ ()T=k·(?2,?3,1)T.k∈R 7. 当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解. （1） (2) 【解】方程组的增广矩阵为 (1) (i) 当b≠?52时,方程组有惟一解 (ii) 当b=?52,a≠?1时，方程组无解. (iii) 当b=?52，a=?1时，方程组有无穷解. 得同解方程组 (*) 其导出组的解为 非齐次线性方程组（*）的特解为 取x4=1, ∴ 原方程组的解为 (2) (i) 当a?1≠0时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解. (ii) 当a?1=0时,b≠?1时，方程组R(A)=2R()=3, ∴ 此时方程组无解. (iii) 当a=1，b= ?1时，方程组有无穷解. 得同解方程组 取 ∴ 得方程组的解为 8. 设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0. 【解】设B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量, 由 为Ax=0的解. 求=0的解.由 得同解方程组 ∴ 其解为 取 则 9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及 求方程组Ax=b的通解. 【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组 R(A)=1