离散数学课后习题答案第四章.docVIP

第十章部分课后习题参考答案 4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： 整数集合Z和普通的减法运算。 封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 非零整数集合普通的除法运算。不封闭 全体实矩阵集合（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元； 乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵； （4）全体实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。不封闭 （5）正实数集合和运算，其中运算定义为： 不封闭 因为 （6）关于普通的加法和乘法运算。 封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元； 乘法无单位元（），零元是0；单位元是1 （7）A = { n运算定义如下： 封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S = 关于普通的加法和乘法运算。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S = ,S关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律 5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题 7．设 * 为上的二元运算， X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数. 求4 * 6，7 * 3。 4, 3 (2)* 在上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律 (3)求*运算的单位元，零元及中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元1, 所有元素无逆元 8． 为有理数集，*为S上的二元运算，a,b,x,y S有 a，b *x，y = ax，ay + b （1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不可交换：x,y*a,b = xa，xb +y a，b *x，y 可结合：(a,b *x,y)*c,d=ax，ay + b*c,d=axc，axd +(ay+b) a,b *(x,y*c,d)=a, b*xc,xd+y=axc，a(xd +y)+b (a,b *x,y)*c,d=a,b *(x,y*c,d) 不是幂等的 （2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。 设a,b是单位元，x,y S ，a,b *x,y= x,y*a,b =x,y 则ax,ay+b=xa,xb+y=x,y，解的a,b=1,0，即为单位。 设a,b是零元，x,y S ，a,b *x,y= x,y*a,b =a,b 则ax,ay+b=xa,xb+y=a,b，无解。即无零元。 x,y S，设a,b是它的逆元a,b *x,y= x,y*a,b =1,0 ax,ay+b=xa,xb+y=1,0 a=1/x,b=-y/x 所以当x0时， 10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，分别有表10.8确定。 (a) (b) (c) (d) (1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ (a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元； (b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元 (c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 没有单位元, 没有零元 (d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元 求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上 16．设V=〈 N，+ ，〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？ （1）S1= 是 （2）S2= 不是 加法不封闭 （3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭 第十一章部分课后习题参考答案 8.设S={0，1，2，3}，4乘法，即 x,yS, xy=(xy)mod 4 问〈S，〉是否构成群？为什么？ (1) x,y∈S, xy=(xy)mod 4,是S上的代数运算。 (2) x,y,zS,设xy=4k+r (xy)z =((xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x(yz) =(xyz)mod 4 所以，(xy)z = x(yz)，结合律成立。 (3) xS, (x1)=(1x)=x,，所以1是单位元。 (4) 0和2没有逆元 S，〉不构成