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概 率 论 习题答案 中南大学数学院 《概率论》课程组编 2008年4月 第 一 章 1.1 解：⑴ 记9件合格品分别为正1，正2，…，正9，记不合格品为次，则 Ω={（正1，正2），（正1，正3），（正1，正4），…，（正1，正9），（正1，次）， （正2，正3），（正2，正4），…，（正2，正9），（正2，次）， （正3，正4），…，（正3，正9），（正3，次）， … （正8，正9），（正8，次）， （正9，次）} A={（正1，次），（正2，次），（正3，次），…，（正9，次）} ⑵记2个白球分别为w1，w2，3个黑球分别为b1,b2,b3,4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则 Ω={w1，w2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4} （ⅰ）A={ w1，w2}。（ⅱ）B={ r1，r2，r3，r4}。 1.2 解：⑴事件表示该生是三年级男生，但不是运动员。 ⑵ABC=C等价于CAB,表示全系运动员都是三年级的男生。 ⑶当全系运动员都是三年级学生时。 ⑷当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。 1.3 解：⑴； ⑵； ⑶； ⑷原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表为。 1.4 解：（1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和（1.6）式的证法。 1.5 解：样本点总数为=8×7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7，11，13中的两个，或2，4，6，8，12中的一个和7，11，13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含＋2×=3×2+2×3×5=2×3×6个样本点。于是 P（A）=。 1.6 解：样本点总数为=10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是 P（A）=。 1．7解：显然样本点总数为13！，事件A“恰好组成MATHEMATICIAN”包含3！2！2！2！个样本点。所以 1．8解：任意固定红“车”的位置，黑“车”可处在9×10-1=89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好互相“吃掉”。故所求概率等于。 1．9解：每个乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”和相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以A包含个样本点，于是 1．10解：用A表示“牌照号码中有数字8”显然所以。 1．11解：（1）参看何声武《概率论习题解法探讨》例5。答案为1/5。 （2）当该数的末位数是1，3，7，9之一时，其四次方的末位数为1，所以答案为。 （3）一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个点。用A表示事件“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a,则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a=7因此A所包含的样本点只有71这一点，于是。 1．12解：（1）6根草的情形。取定一个头，它可与其它的5个头之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5·3·1种接法，同样对尾也有5·3·1种接法，所以样本点总数为（5·3·1）2。用A表示“6根草连结成一个环”，这种连接，对头而言仍有5·3·1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能与和它的头未连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它又只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4·2。所以A包含的样本点数为（5·3·1）（4·2）于是 （2）2n根草的情形和（1）类似得 1．13解：先求样本点总数，将N个盒子按一定顺序排列好，再将n个球放入这些盒中，用表示第个盒中的秋熟。样本点总数等于方程 的解的个数，它等于的展开式中的系数，而 所以的系数为， （1）指定的盒中有k个球，在另外N－1个盒中放n－k个球，由上述求样本点总数的结果知，事件A“指定的盒中恰好有k个球”包含的样本点数等于，于是 （2）先求当n≥N时，事件A“没有空盒”的概率。A包含的样本点数等于方程 的解的个数，即等于的展开式中的系数， 即中