概率论习题五答案.docVIP

习题五 1.设抽样得到样本观测值为： 38.2 40.0 42.4 37.6 39.2 41.0 44.0 43.2 38.8 40.6 计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。 2.设抽样得到100个样本观测值如下： 观测值 1 2 3 4 5 6 频数 15 21 25 20 12 7 计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。 解：由书上127页（5.20）（5.21）（5.22）式可知： 3.略 4.从总体中抽取容量为n的样本，设c为任意常数，k为任意正数，作变换 证明：（1）（2）其中及分别是的样本均值及样本方差；及分别是的样本均值及样本方差。 证明（1） 由得 （2） 5. 从总体中抽取两组样本，其容量分别为及，设两组的样本均值分别为及，样本方差分别为及，把这两组样本合并为一组容量为的联合样本。 证明：（1）.联合样本的样本均值； （2）.联合样本的样本方差 证明：（1） （2） 化简得 6设随机变量X,Y,Z相互独立，都服从标准正态分布N.(0, 1),求随机变量函数的分布函数与概率密度；并验证§5.4定理1当k=3时成立，即U～ 解：X, Y, Z相互独立且都服从N(0, 1),则U～显然 不然，直接求U的分布函数 利用三重积分的性质（略）也可得到结论。 7. 设随机变量X服从自由度为k的t分布，证明：随机变量服从自由度为（1， k）的F分布。 证明：X～,则可将X记为～N(0, 1), V～ 则 其中～， V～ 由F分布的定义知 Y=～F(1, k). 8. 设随机变量X服从自由度为的F分布，证明：随机变量服从自由度为的F分布；从而证明等式（5.33）： 证明：X ～F, 则X 可写成 其中，，由F分布定义知 9. 设总体X服从正态分布 (1) 从总体中抽取容量为64的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值小于1的概率 （2）抽取样本容量n多大时，才能使概率达到0.95？ 解：(1) (2) 10.从正态总体N中抽取容量为10的样本， （1）已知，求的概率。 （2）未知，求的概率。 解：(1) 又 （P133，定理3） （2） 又 （定理4 P133） 11. 设总体，总体，从总体X中抽取容量为10的样本，从总体Y中抽取容量为8的样本，求下列概率： （1） （2） 解： （1） 有136定理6知， （2） 又由P139， 12. 设总体，抽取样本，样本均值为，样本方差为。若再抽取一个样本，证明： 统计量 与相互独立。 证明： ＝ 13. 设总体，抽取样本，求下列概率： （1） （2） 解： （1） ＝1－ （2） 14. 设总体 X服从泊松分布，抽取样本，求： （1） 样本均值的期望与方差； （2） 样本均值的概率分布。 解：（1） （2） 由泊松分布的可加性有： ， 则 15. 设总体 X服从指数分布，抽取样本，求： （1）样本均值的期望与方差； （2）样本方差的数学期望。 解： （1）